O+P Fluidtechnik 4/2017

VERBINDUNGSELEMENTE
FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED
4.2. VOLUMENÄNDERUNGSFUNKTION FÜR
UNBEHINDERTE AXIALDEHNUNG
Bei unbehinderter Axialdehnung müssen sowohl die tangentialen
als auch die axialen Beiträge zur Volumenänderungsfunktion ψ berücksichtigt
werden. Für diese gilt damit:
( ) d σϕ
d σ
2 3 ( 1 2 )
d
r
σz
ψ = −µ − µ + − µ
(28)
dp dp dp
Wie Gleichung 28 zeigt, hängt die Volumenänderungsfunktion neben
den Tangential- und Radialspannungen im vorliegenden Fall
auch von der axialen Spannung ab. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden:
n Verschwindende Axialspannung (σ z
= 0)
n Durch anschließende Bauteile induzierte Axialspannung (σ z
≠ 0)
Eine unbehinderte axiale Dehnung mit verschwindender Axialspannung
stellt sich beispielsweise dann ein, wenn die betrachtete
Leitung mit Dehnungskompensatoren ausgestattet ist. Durch die
Kompensatoren wird eine näherungsweise unbehinderte axiale
Dehnung ermöglicht, bei der sich keine nennenswerte axiale Spannung
einstellen kann.
Der Fall einer axialen Belastung des Rohres durch Druckkräfte
tritt zum Beispiel dann auf, wenn ein einseitig fest eingespanntes
Rohr am gegenüberliegenden Rohrende durch einen Rohrkrümmer
abgeschlossen wird. Bei Vernachlässigung der Biegesteifigkeit
der an den Krümmer anschließenden Rohre kann davon ausgegangen
werden, dass sich das Rohr frei dehnen kann, wobei neben der
vom Krümmer ausgeübten Axialspannung auch die Querkontraktion
infolge der radialen und tangentialen Beanspruchung zur Längenänderung
beiträgt. Die als über dem Rohrradius konstant angenommene
axiale Spannung σ z
berechnet sich in diesem Fall zu:
2
ϲ
σ
z
=∆p
(29)
2
1−
ϲ
Substitution der Spannungen in Gleichung 28 ergibt die in
Tabelle 03 aufgeführten Volumenänderungsfunktionen:
Modell ε ≠ 0, σ = 0 Quelle ε ≠0, σ ≠0
Quelle
Exakt [2] [2]
2 ⎛1
⎞
2 1
1+ µ + 2ϲ
⎛ ⎞
⎜ − µ ⎟ 1+ µ + 3ϲ
⎜ − µ
2
⎟
2 [4]
2
⎝ ⎠
2
⎝ ⎠
2
2
1−
ϲ
1−
ϲ
Dünnwandig
z
z
⎛ µ ⎞d
⎜1−
⎟
⎝ 2 ⎠ e
[3] 2− µ + 3ϲ
1−
µ –
ϲ
2
1−
ϲ
Tabelle 03 Volumenänderungsfunktionen ψ für Rohre mit
unbehinderter Axialdehnung
z
z
( )
Im Folgenden sollen die Auswirkungen der angegebenen Volumenänderungsfunktionen
auf die Schallgeschwindigkeit untersucht
werden.
4.3. EINFLUSS DER RANDBEDINGUNGEN
Die Volumenänderungsfunktionen hängen neben den Randbedingungen
auch von der Querkontraktionszahl der Leitungswand ab.
Typische Konstruktionswerkstoffe für Rohr- und Schlauchleitungen
weisen Querkontraktionszahlen im Bereich 0,3 < μ < 0,5 auf, weswegen
diese beiden „Grenzwerte“ für die folgenden Betrachtungen
im Vordergrund stehen.
Eine Querkontraktionszahl μ = 0,5 (z. B. Gummi) bedeutet bei isotropen
Werkstoffen, dass durch eine Spannungsänderung praktisch
keine Volumen- bzw. Dichteänderung des Wandmaterials induziert
werden kann, d. h. näherungsweise inkompressibles Verhalten vorliegt
(K → ∞). Bei Werkstoffen mit dieser Eigenschaft fallen die
Volumenänderungsfunktionen für die drei behandelten Randbedingungen
zusammen und nehmen den folgenden Wert an:
3
ψ ( µ = 0,5 ) = (30)
2
1 − ϲ
Für (näherungsweise) inkompressible Werkstoffe erübrigt sich daher
eine Unterscheidung der vorgestellten Volumenänderungsfunktionen
und die oben stehende Beziehung kann unabhängig
von der Lagerungsart der Leitung verwendet werden.
Mit abnehmender Querkontraktionszahl differieren die Volumenänderungsfunktionen
für verschiedene Randbedingungen dagegen
teilweise deutlich, wie Bild 02 entnommen werden kann.
Dieses zeigt die Verläufe der verschiedenen Volumenänderungsfunktionen
beim unteren Grenzfall μ = 0,3 sowie – zum Vergleich –
den Verlauf der einzigen Volumenänderungsfunktion für μ = 0,5 im
technisch relevanten Wandstärkenbereich (e/d > 0,01).
Die Abweichungen zwischen den Volumenänderungsfunktionen
für die verschiedenen Randbedingungen nehmen mit abnehmender
relativer Wandstärke zu. Die größte Abweichung stellt sich
zwischen den Lagerungsfällen „unbehinderte Axialdehnung bei
nicht verschwindender Axialspannung“ (ε z
≠ 0, σ z
≠ 0, Fall „A“) und
„unbehinderte Axialdehnung bei verschwindender Axialspannung“
(ε z
≠ 0, σ z
= 0, Fall „B“) ein. Der Fehler, der in die Berechnung der effektiven
Schallgeschwindigkeit durch die Auswahl einer unpassenden
Volumenänderungsfunktion eingeführt wird, ist demnach
bei Verwechslung dieser beiden Lagerungsfälle und bei sehr kleiner
relativer Wandstärke (e/d → 0 bzw. ϱ → 1) am größten. Dieses Beispiel
bietet sich daher an, um den Einfluss der Randbedingungen
auf die effektive Schallgeschwindigkeit zu untersuchen.
Als Fehlermaß wird dazu die relative Abweichung der Schallgeschwindigkeit
∆a/a verwendet. Nimmt man – zwecks konservativer
Abschätzung – die kleiner ausfallende Schallgeschwindigkeit bei
Lagerungsfall „A“ als Bezugsgröße, so kann folgender Ausdruck für
das Fehlermaß hergeleitet werden:
2 Ks
⎡
2⎛1
⎞⎤
( 1− ϲ ) + 2 1 3
a
E
⎢ + µ + ϲ ⎜ − µ ⎟
∆ 2
⎥
⎝ ⎠
=
⎣
⎦
−1 (31)
a
2 Ks
⎡
2⎛1
⎞⎤
( 1− ϲ ) + 2 1+ µ + 2 ⎜ − µ ⎟
E
⎢ ϲ
2
⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦
Neben der relativen Wandstärke und der Querkontraktionszahl
hängt der Fehler zusätzlich vom Steifigkeitsverhältnis K s
/E von
Fluid und Rohrwand ab. Bei kleiner werdender Wandstärke
(ϱ →1) nimmt der Einfluss des Steifigkeitsverhältnisses jedoch
stetig ab, sodass sich für den Grenzfall einer verschwindenden
Wandstärke ein vom Steifigkeitsverhältnis unabhängiges Fehlermaß
ergibt, das gleichzeitig dem Maximalwert des Fehlers entspricht:
∆a
⎛∆a⎞
2,5−
2µ
lim = ⎜ ⎟ = −1 (32)
ϲ →1
a ⎝ a ⎠ 2 − µ
max
Für den hier als untere Grenze angenommenen Wert μ = 0,3 ergibt
sich ein maximaler Fehler von etwa 5,72 %. Mit zunehmender
Wandstärke sinkt dieser Fehler rasch zu kleineren Werten ab, wobei
das Fehlermaß mit kleiner werdendem Steifigkeitsverhältnis
schneller fällt. Die Auswahl der für die vorliegenden Randbedingungen
passenden Volumenänderungsfunktion (und damit die
Berücksichtigung der genauen Einspannsituation) ist für typische
Rohr- und Schlauchleitungswerkstoffe (0,3 < μ < 0,5) folglich von
untergeordneter Bedeutung für die rechnerische Bestimmung der
effektiven Schallgeschwindigkeit. Möchte man – der Einfachheit
halber – gänzlich auf eine Unterscheidung der verschiedenen
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