O+P Fluidtechnik 4/2017

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VERBINDUNGSELEMENTE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED ∆ a a0 − a = (35) a a Da in der vorliegenden Arbeit drei verschiedene Lagerungsbedingungen behandelt wurden, ergibt sich eine entsprechende Anzahl unterschiedliche Fehlermaße. Wie im vorigen Abschnitt gezeigt wurde, unterscheiden sich die Schallgeschwindigkeiten der verschiedenen Randbedingungen für μ = 0,3 untereinander nur sehr wenig, weswegen der Einfachheit halber das arithmetische Mittel aus allen drei Fehlermaßen angegeben wird. Auch hier hängt das (mittlere) Fehlermaß neben der relativen Wandstärke vom Steifigkeitsverhältnis ab. Zur Veranschaulichung dieses Sachverhalts sind die Fehlermaße daher für verschiedene Steifigkeitsverhältnisse 1 > K s /E > 0,01 in Bild 03 dargestellt. Naturgemäß steigt der durch die Näherungsgleichungen eingeführte Fehler mit größer werdender relativer Wandstärker an. Ist der Kompressionsmodul der Druckflüssigkeit mit dem Elastizitätsmodul der Rohrwand vergleichbar (K s /E ≈ 1), so führt die Annahme einer vereinfachten Spannungsverteilung bereits bei dünnwandigen Rohren im Sinne der DIN 2413 zu Fehlern von etwa 8,6 %; für größere Wandstärken ergeben sich entsprechend deutlich höhere Fehlermaße. Eine Verwendung der Näherungsgleichungen kann daher nur für Steifigkeitsverhältnisse K s /E < 0,01 empfohlen werden, wo selbst dickwandige Rohren ein maximales Fehlermaß von lediglich 1 % erreichen. Ein solches Steifigkeitsverhältnis tritt beispielsweise bei mit Wasser oder Hydrauliköl gefüllten Stahlleitungen und druckluftführenden Elastomerleitungen auf. Würden dieselben Elastomerleitungen jedoch der Förderung von Flüssigkeiten dienen (Beispiel: PKW-Kraftstoffleitungen mit K s /E ≈ 1), so würde die Anwendung der Näherungsgleichungen wiederum unverhältnismäßig große Fehler in die Berechnung einführen. Da in der Praxis durchgeführte Berechnungen der effektiven Schallgeschwindigkeit ohnehin meist mit Tabellenkalkulationsprogrammen oder Simulationssoftware durchgeführt werden, sollte von der Verwendung der Näherungsgleichungen Abstand genommen und den in dieser Arbeit vorgestellten, exakten Volumenänderungsfunktionen (bzw. der gemittelten Volumenänderungsfunktion) Vorzug gegeben werden. Diese sind für sämtliche linear-elastischen und isotropen Rohrwerkstoffe bei allen Wandstärken gültig und erübrigen somit die umständliche Überprüfung, ob die jeweilige Näherung innerhalb ihres Gültigkeitsbereiches verwendet wird. 4.5. STELLUNGNAHME BEZÜGLICH DER VERNACHLÄSSIGUNG VON AXIALDEHNUNGEN Verschiedentlich wird die Ansicht vertreten, dass sich die „Volumenzunahme durch Dehnung in Längsrichtung des Rohres“ weitgehend „mit der Abnahme infolge Querkontraktion“ bei dünnwandigen Rohren aufheben würde [4]. Die generelle Gültigkeit dieser Aussage wird im Folgenden untersucht. Gemäß der vertretenen Ansicht soll die axiale (Gesamt-)Dehnung ε z näherungsweise gleich Null sein. Nach dem Hookeschen Gesetzes folgt daraus für die Spannungen (siehe Gleichung 26): z ( ϕ r) (36) σ ≈ µ σ + σ Mit den exakten Spannungen an der Innenseite der Rohrwand ergibt sich: µ ≈ 0,5 (37) Bemerkenswerterweise ist dieses Ergebnis unabhängig vom Radienverhältnis der Rohrwand, sodass diese Beziehung auch für dickwandige Rohre gilt. Die Behauptung, dass sich die Volumenzunahme infolge axialer Dehnung mit der Volumenabnahme infolge Querkontraktion näherungsweise aufheben würde, ist also bei exakter Spannungsverteilung nur für näherungsweise als inkompressibel anzusprechende Werkstoffe erfüllt. Legt man die Spannungsverteilung für dünnwandige Rohre zugrunde (σ r « σ ϕ ), so ergibt sich: ϲ 1 µ ≈ = 1+ ϲ ⎛ e ⎞ 2⎜1+ ⎟ ⎝ d ⎠ (38) Für dünnwandige Rohre im Sinne der DIN 2413 ergeben sich nach dieser Beziehung Querkontraktionszahlen 0,45 < µ < 0,5, wie sie bei weichen, hochelastischen Kunststoffen vorzufinden sind [10]. Für Rohre aus den häufig verwendeten metallischen Konstruktionswerkstoffen Stahl, Aluminium und Titan (μ ≈ 0,3) ist die Behauptung offenbar nicht zutreffend. Von der Verwendung dieser Vereinfachung und den daraus abgeleiteten Näherungsgleichungen zur Berechnung der effektiven Schallgeschwindigkeit wird abgeraten. 5. ZUSAMMENFASSUNG Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit lassen sich folgendermaßen zusammenfassen: 1. Die effektive Schallgeschwindigkeit für Leitungen aus linear-elastischen Werkstoffen kann gemäß der folgenden Beziehung berechnet werden: as a = Ks 1+ E ψ Gleichungen zur Ermittlung der Volumenänderungsfunktion ψ, die die Lagerungsbedingungen der Leitung berücksichtigt, finden sich in den Abschnitten 4.1 und 4.2 der Arbeit. 2. Das Verhältnis von Fluid-Schallgeschwindigkeit a s zu effektiver Schallgeschwindigkeit a wird im Wesentlichen vom Verhältnis von Fluid-Kompressionsmodul K s zu Wand-Elastizitätsmodul E bestimmt. 3. Bei inkompressiblen Werkstoffen (μ ≈ 0,5) ist die effektive Schallgeschwindigkeit von den Lagerungsbedingungen der Leitung unabhängig. Für die Volumenänderungsfunktion ψ ergibt sich der folgende Ausdruck: 3 ψ µ = = 1 − ϲ ( 0,5) 2 4. Bei Werkstoffen mit μ < 0,5 hängt die Schallgeschwindigkeit von den Lagerungsbedingungen der Leitung ab. Für μ = 0,3 ergibt sich ein höchster Fehler von ca. 6 % bei Auswahl einer für die jeweils vorliegenden Randbedingungen ungeeigneten Volumenänderungsfunktion. 5. Sind die Randbedingungen unklar oder besteht das Bedürfnis, alle Lagerungsfälle unter Inkaufnahme von Fehlern mit nur einer Gleichung abzudecken, so kann eine gemittelte Volumenänderungsfunktion ψ verwendet werden: 2 ⎛1 ⎞ 21 ( + µ ) + 5ϲ ⎜ − µ ⎟ 2 ψ = ⎝ ⎠ 2 1− ϲ Dadurch sinkt die größte Abweichung ∆a/a für μ = 0,3 auf ca. 3 %. 6. Die mit den exakten Spannungsverteilungen hergeleiteten Volumenänderungsfunktionen ermöglichen eine genauere Berechnung der effektiven Schallgeschwindigkeit, als es mit den in der Literatur häufig anzutreffenden Näherungsformeln für dünnwandige Rohre möglich ist. Der Genauigkeitszuwachs gegenüber 72 O+P Fluidtechnik 4/2017
VERBINDUNGSELEMENTE den Näherungen steigt mit zunehmender Wandstärke und abnehmender Steifigkeit des Wandwerkstoffs. Von der Anwendung i r Innerer Rohrradius m der exakten Beziehungen profitieren daher im Bereich der Fluidtechnik r a Äußerer Rohrradius m Q Volumenstrom m³ ∙ s -1 vor allem Berechnungen für Elastomerleitungen, die s Entropie J ∙ K -1 Flüssigkeiten führen. ε' Linear-elastischer, instantan eintretender 1 7. Die Näherungen ψ 0 an die Volumenänderungsfunktion für Dehnungsanteil dünnwandige Rohre führen selbst bei im Sinne der DIN 2413 als dünnwandig anzusprechenden Rohren zu nicht vertretbaren ε'' Viskoelastischer, retardiert folgender 1 Fehlern. Die Näherungsformeln sollten nicht verwendet werden. μ Dehnungsanteil Querkontraktionszahl 1 8. Die Behauptung, dass sich die Rohrdehnung in Längsrichtung weitgehend mit der Verkürzung infolge der Poisson-Effektes aufheben ψ Volumenänderungsfunktion 1 würde, ist nur für Rohre aus inkompressiblen Werkstoffen ρ Fluiddichte kg ∙m -3 zutreffend und nicht allgemeingültig. Von der Verwendung dieser ϱ Radienverhältnis 1 Vereinfachung bzw. der sich daraus ergebenden Volumenänderungsfunktionen wird abgeraten. σ Spannung N ∙m 6. AUSBLICK Literaturverzeichnis [1] Tijsseling, Arris S.; Anderson, Alexander. The Joukowsky equation for fluids Die ausführliche Herleitung der Gleichungen zur Ermittlung der and solids. In: Proceedings of the 9th International Conference on Pressure Surges. effektiven Schallgeschwindigkeit erlaubt es, im Bedarfsfall entsprechende Beziehungen für Rohre mit nicht-kreisförmigen Quer- [2] Halliwell, A. R. Velocity of a Water-Hammer Wave in an Elastic Pipe. Journal 2004. S. 739-751. schnitten herzuleiten. Dabei ist zu beachten, dass zur Formulierung of the Hydraulics Division, 89. Jg., Nr. 4, S. 1-21. der relativen Änderung dA/A des durchströmten Quer- [3] Wylie, E. Benjamin; Streeter, Victor Lyle. Fluid transients. New York, McGraw-Hill International Book Co., 1978. schnitts ggfs. anderen als die hier verwendeten Dehnungsmaßen [4] Murrenhoff, Hubertus. Grundlagen der Fluidtechnik – Teil 1: Hydraulik. der Vorzug gewährt werden sollte (z. B. zwei kartesische Dehnungsmaße Shaker-Verlag, 2012. bei Spiegelsymmetrie des Querschnitts). Insbesonde- re bei dünnwandigen Leitungen mit Rechteckquerschnitt ist allerdings [5] Laplace, Pierre-Simon. Sur la vitesse du son dans l’air et dans l’eau. In: Annales de Chimie et de Physique. 1816. S. 238-241. zu berücksichtigen, dass durch die Plattenbiegung der Sei- [6] Covas, Dídia, et al. The dynamic effect of pipe-wall viscoelasticity in hydraulic transients. Part II – Model development, calibration and verification. Journal of tenflächen ein weiterer Beitrag zur druckbedingten Querschnittsflächen- und damit Volumenänderung des Rohres hinzukommt. [7] Saint-Venant, Barré de. Mémoire sur la torsion dês prismes, Mémoires dés Hydraulic Research, 2005, 43. Jg., Nr. 1, S. 56-70. Details zu diesem Sonderfall werden ausführlich bei Jenkner diskutiert savants étrangers, Mémoires présentés pás divers savants à l’Académie dés [11]. Sciences, de l’Instituit Impérial de France et imprime par son ordre, 1856, S. 233-560. Die effektive Schallgeschwindigkeit in viskoelastischen Leitungen wird in Teil II dieser Arbeit behandelt. Dabei wird gezeigt, Maschinenbaus 1. Springer Berlin Heidelberg, 2016. S. 493-570. [8] Leidich, Erhard. Welle-Nabe-Verbindungen. In: Konstruktionselemente des dass diese bei viskoelastischem Leitungsverhalten im Allgemeinen eine frequenzabhängige Größe darstellt, d. h. Druck- und Volumenstrompulsationen [9] Chaudhry, M. Hanif. Transient-Flow Equations. In: Applied Hydraulic Transients. Springer New York, 2014. S. 35-64. verschiedener Frequenz mit unter- [10] Kunz, Johannes. Die Querkontraktionszahl in der Konstruktionspraxis. Kunststoff Extra, 2011, 6. Jg., S. 27-30. schiedlichen Geschwindigkeiten durch die Leitung transportiert [11] Jenkner, W. R. Über die Druckstossgeschwindigkeit in Rohrleitungen mit werden. quadratischen und rechteckigen Querschnitten. Schweizerische Bauzeitung, 1971, 89. Jg., Nr. 5. Autoren: M. Sc. Enrico Pasquini und Dr.-Ing. Heiko Baum, Fluidon Gesellschaft für Fluidtechnik mbH, Jülicher Straße 338a, 52070 Aachen; Nomenklatur Univ.-Prof. Dr.-Ing. Hubertus Murrenhoff, IFAS der RWTH Aachen, Steinbachstraße A Durchströmter Querschnittsflächeninhalt, m² 53, 52074 Aachen 2 A = πr i a Effektive Schallgeschwindigkeit, allgemeines m/s Werkstoffverhalten a' Effektive Schallgeschwindigkeit, linear- m/s elastische Leitung a s Isentrope Schallgeschwindigkeit des reinen m/s Fluids d Innerer Rohrdurchmesser, d = 2r i m e Wandstärke der Rohrwand, e = r a – r i m K Kompressionsmodul der Rohrwand N ∙m -2 K' Effektiver Kompressionsmodul, linear- N ∙m -2 elastische Leitung K s Isentroper Kompressionsmodul des reinen N ∙m -2 Fluids l Länge der betrachteten Leitung m p Druck N ∙ m -2 O+P Fluidtechnik 4/2017 73
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