O+P Fluidtechnik 4/2017

VERBINDUNGSELEMENTE
FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED
dr
dr
ϕ d
= = = = 2 (7)
A dt r dt r dt dt dt
2
1dA
1
i
2
i
2d
2
i
i
ϕ
Damit lässt sich die relative Volumenänderungsrate durch die axialen
und tangentialen Dehngeschwindigkeiten ausdrücken:
ε ϕ
1dA
1dl
dεϕ
dε
z
+ = 2 +
(8)
A dt l dt dt dt
Für den allgemeinen Fall eines viskoelastischen Materialverhaltens
der Rohrwand wird häufig angenommen, dass die Dehnungen ε in
einen der Beanspruchung instantan folgenden linear-elastischen
Anteil ε' und einen verzögert („retardiert“) folgenden viskoelastischen
Anteil ε'' zerlegt werden können [6]:
ε = ε′ + ε ′′
Da der linear-elastische Anteil ε' der ursächlichen Druckbelastung
instantan folgt, kann geschrieben werden:
dε′ dε′
dp
=
dt dp dt
Für die gesamte Dehngeschwindigkeit ergibt sich damit:
d ε d ε ′ dp
d ε ′
= +
dt dp dt dt
(9)
(10)
(11)
Die Ermittlung der Änderungsrate des viskoelastischen Dehnungsanteils
fällt in das Gebiet der Rheologie. Eine ausführliche Beschreibung
der rechnerischen Behandlung von Leitungen aus viskoelastischen
Werkstoffen findet sich beispielsweise bei Corvas et al. [6].
Die mit viskoelastischem Materialverhalten verbundenen Implikationen
für die effektive Schallgeschwindigkeit und das Übertragungsverhalten
einer Leitung werden in einem Teil II dieser Arbeit
behandelt. Für die folgenden Abschnitte wird linear-elastisches
Materialverhalten vorausgesetzt, sodass dε'' für alle Zeiten gleich
Null ist.
2.4. MODIFIZIERTE KONTINUITÄTSGLEICHUNG
Durch Substitution der im vorigen Abschnitt hergeleiteten Beziehungen
ergibt sich die modifizierte Kontinuitätsgleichung für Leitungen
aus linear-elastischen Werkstoffen:
' '
⎛ 1 dεϕ
dε
⎞
z
dp
1 ∂Q
+ 2 + + = 0 (12)
⎜ Ks
dp dp ⎟
⎝
⎠ dt A ∂z
Damit weist die Kontinuitätsgleichung insgesamt drei Terme auf,
die der zeitlichen Druckänderung dp/dt proportional sind. Da die
verschiedenen Koeffizienten sämtlich die Dimension des Kehrwerts
eines Kompressionsmoduls haben, werden diese zum effektiven
Kompressionsmodul für linear-elastische Leitungswerkstoffe K'
zusammengefasst:
Ks
K′ =
(13)
Ks
1+
E ψ
Die Volumenänderungsfunktion ψ nach Halliwell repräsentiert dabei
die Änderung des vom Rohr umschlossenen Volumens infolge
eines Einheitsdrucks [2]:
' '
⎛ dεϕ
dε
⎞
z
ψ = E
2 +
(14)
⎜
dp
dp
⎟
⎝ ⎠
Die effektive Schallgeschwindigkeit für linear-elastische Leitungswerkstoffe
a' ergibt sich damit zu:
K′
a′ = =
ρ
a
s
Ks
1+
ψ
E
(15)
Da die vorliegende Arbeit auf dieses Werkstoffverhalten beschränkt
ist, wird im Folgenden auf eine Unterscheidung zwischen der effektiven
Schallgeschwindigkeit a (die auch ein mögliches viskoelastisches
Werkstoffverhalten beinhaltet) und der effektiven Schallgeschwindigkeit
bei linear-elastischem Leitungswerkstoff a' verzichtet.
Die Bestimmung der effektiven Schallgeschwindigkeit reduziert
sich bei bekannten Materialparametern (E, K s
, a s
) also auf die Ermittlung
der Volumenänderungsfunktion ψ für die jeweils vorliegenden
Randbedingungen. Diese Aufgabe fällt in das Gebiet der
Elastomechanik.
3. ELASTOMECHANIK DER ROHRWAND
Die elastischen Tangential- und Axialdehnungen sind durch das
Hookesche Gesetz mit den Spannungen σ, denen die Rohrwand
ausgesetzt ist, und dem Elastizitätsmodul E der Wand verknüpft.
Für die druckbezogene, linear-elastische tangentiale Einheitsdehnung
dε' ϕ
/dp ergibt sich damit:
ε σ σ σz
⎞
= ⎜ −µ − µ ⎟
dp E⎝
dp dp dp
⎠
'
d
ϕ 1 ⎛d ϕ d
r
d
Für die axiale Einheitsdehnung dε' z
/dp erhält man analog dazu:
'
dε 1 d d
z
⎛ σ σ z
dσ
ϕ
r
⎞
= ⎜ −µ − µ ⎟
dp E⎝
dp dp dp
⎠
(16)
(17)
Zur Ermittlung der druckbezogenen Dehnungen (und damit der
Volumenänderungsfunktion ψ) muss daher die (Einheits-)Spannungsverteilung
innerhalb der Rohrwand bekannt sein. Diese wird
im folgenden Abschnitt angegeben.
3.1. SPANNUNGSVERTEILUNG IN EINEM DURCH
INNENDRUCK BELASTETEN ROHR
An einem durch einen inneren Überdruck ∆p = p – p u
(Umgebungsdruck
p u
) belasteten Rohr mit kreisförmigem Querschnitt
können axiale, radiale und tangentiale Spannungen auftreten
(Bild 01):
Die radialen und tangentialen Spannungen variieren über der
Wandstärke r a
– r i
= e; die axiale Spannung σ z
kann bei Vernachlässi-
01 Spannungen in einer durch Innendruck belasteten Rohrwand
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