O+P Fluidtechnik 4/2017

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VERBINDUNGSELEMENTE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED 4.2. VOLUMENÄNDERUNGSFUNKTION FÜR UNBEHINDERTE AXIALDEHNUNG Bei unbehinderter Axialdehnung müssen sowohl die tangentialen als auch die axialen Beiträge zur Volumenänderungsfunktion ψ berücksichtigt werden. Für diese gilt damit: ( ) d σϕ d σ 2 3 ( 1 2 ) d r σz ψ = −µ − µ + − µ (28) dp dp dp Wie Gleichung 28 zeigt, hängt die Volumenänderungsfunktion neben den Tangential- und Radialspannungen im vorliegenden Fall auch von der axialen Spannung ab. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden: n Verschwindende Axialspannung (σ z = 0) n Durch anschließende Bauteile induzierte Axialspannung (σ z ≠ 0) Eine unbehinderte axiale Dehnung mit verschwindender Axialspannung stellt sich beispielsweise dann ein, wenn die betrachtete Leitung mit Dehnungskompensatoren ausgestattet ist. Durch die Kompensatoren wird eine näherungsweise unbehinderte axiale Dehnung ermöglicht, bei der sich keine nennenswerte axiale Spannung einstellen kann. Der Fall einer axialen Belastung des Rohres durch Druckkräfte tritt zum Beispiel dann auf, wenn ein einseitig fest eingespanntes Rohr am gegenüberliegenden Rohrende durch einen Rohrkrümmer abgeschlossen wird. Bei Vernachlässigung der Biegesteifigkeit der an den Krümmer anschließenden Rohre kann davon ausgegangen werden, dass sich das Rohr frei dehnen kann, wobei neben der vom Krümmer ausgeübten Axialspannung auch die Querkontraktion infolge der radialen und tangentialen Beanspruchung zur Längenänderung beiträgt. Die als über dem Rohrradius konstant angenommene axiale Spannung σ z berechnet sich in diesem Fall zu: 2 ϲ σ z =∆p (29) 2 1− ϲ Substitution der Spannungen in Gleichung 28 ergibt die in Tabelle 03 aufgeführten Volumenänderungsfunktionen: Modell ε ≠ 0, σ = 0 Quelle ε ≠0, σ ≠0 Quelle Exakt [2] [2] 2 ⎛1 ⎞ 2 1 1+ µ + 2ϲ ⎛ ⎞ ⎜ − µ ⎟ 1+ µ + 3ϲ ⎜ − µ 2 ⎟ 2 [4] 2 ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠ 2 2 1− ϲ 1− ϲ Dünnwandig z z ⎛ µ ⎞d ⎜1− ⎟ ⎝ 2 ⎠ e [3] 2− µ + 3ϲ 1− µ – ϲ 2 1− ϲ Tabelle 03 Volumenänderungsfunktionen ψ für Rohre mit unbehinderter Axialdehnung z z ( ) Im Folgenden sollen die Auswirkungen der angegebenen Volumenänderungsfunktionen auf die Schallgeschwindigkeit untersucht werden. 4.3. EINFLUSS DER RANDBEDINGUNGEN Die Volumenänderungsfunktionen hängen neben den Randbedingungen auch von der Querkontraktionszahl der Leitungswand ab. Typische Konstruktionswerkstoffe für Rohr- und Schlauchleitungen weisen Querkontraktionszahlen im Bereich 0,3 < μ < 0,5 auf, weswegen diese beiden „Grenzwerte“ für die folgenden Betrachtungen im Vordergrund stehen. Eine Querkontraktionszahl μ = 0,5 (z. B. Gummi) bedeutet bei isotropen Werkstoffen, dass durch eine Spannungsänderung praktisch keine Volumen- bzw. Dichteänderung des Wandmaterials induziert werden kann, d. h. näherungsweise inkompressibles Verhalten vorliegt (K → ∞). Bei Werkstoffen mit dieser Eigenschaft fallen die Volumenänderungsfunktionen für die drei behandelten Randbedingungen zusammen und nehmen den folgenden Wert an: 3 ψ ( µ = 0,5 ) = (30) 2 1 − ϲ Für (näherungsweise) inkompressible Werkstoffe erübrigt sich daher eine Unterscheidung der vorgestellten Volumenänderungsfunktionen und die oben stehende Beziehung kann unabhängig von der Lagerungsart der Leitung verwendet werden. Mit abnehmender Querkontraktionszahl differieren die Volumenänderungsfunktionen für verschiedene Randbedingungen dagegen teilweise deutlich, wie Bild 02 entnommen werden kann. Dieses zeigt die Verläufe der verschiedenen Volumenänderungsfunktionen beim unteren Grenzfall μ = 0,3 sowie – zum Vergleich – den Verlauf der einzigen Volumenänderungsfunktion für μ = 0,5 im technisch relevanten Wandstärkenbereich (e/d > 0,01). Die Abweichungen zwischen den Volumenänderungsfunktionen für die verschiedenen Randbedingungen nehmen mit abnehmender relativer Wandstärke zu. Die größte Abweichung stellt sich zwischen den Lagerungsfällen „unbehinderte Axialdehnung bei nicht verschwindender Axialspannung“ (ε z ≠ 0, σ z ≠ 0, Fall „A“) und „unbehinderte Axialdehnung bei verschwindender Axialspannung“ (ε z ≠ 0, σ z = 0, Fall „B“) ein. Der Fehler, der in die Berechnung der effektiven Schallgeschwindigkeit durch die Auswahl einer unpassenden Volumenänderungsfunktion eingeführt wird, ist demnach bei Verwechslung dieser beiden Lagerungsfälle und bei sehr kleiner relativer Wandstärke (e/d → 0 bzw. ϱ → 1) am größten. Dieses Beispiel bietet sich daher an, um den Einfluss der Randbedingungen auf die effektive Schallgeschwindigkeit zu untersuchen. Als Fehlermaß wird dazu die relative Abweichung der Schallgeschwindigkeit ∆a/a verwendet. Nimmt man – zwecks konservativer Abschätzung – die kleiner ausfallende Schallgeschwindigkeit bei Lagerungsfall „A“ als Bezugsgröße, so kann folgender Ausdruck für das Fehlermaß hergeleitet werden: 2 Ks ⎡ 2⎛1 ⎞⎤ ( 1− ϲ ) + 2 1 3 a E ⎢ + µ + ϲ ⎜ − µ ⎟ ∆ 2 ⎥ ⎝ ⎠ = ⎣ ⎦ −1 (31) a 2 Ks ⎡ 2⎛1 ⎞⎤ ( 1− ϲ ) + 2 1+ µ + 2 ⎜ − µ ⎟ E ⎢ ϲ 2 ⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ Neben der relativen Wandstärke und der Querkontraktionszahl hängt der Fehler zusätzlich vom Steifigkeitsverhältnis K s /E von Fluid und Rohrwand ab. Bei kleiner werdender Wandstärke (ϱ →1) nimmt der Einfluss des Steifigkeitsverhältnisses jedoch stetig ab, sodass sich für den Grenzfall einer verschwindenden Wandstärke ein vom Steifigkeitsverhältnis unabhängiges Fehlermaß ergibt, das gleichzeitig dem Maximalwert des Fehlers entspricht: ∆a ⎛∆a⎞ 2,5− 2µ lim = ⎜ ⎟ = −1 (32) ϲ →1 a ⎝ a ⎠ 2 − µ max Für den hier als untere Grenze angenommenen Wert μ = 0,3 ergibt sich ein maximaler Fehler von etwa 5,72 %. Mit zunehmender Wandstärke sinkt dieser Fehler rasch zu kleineren Werten ab, wobei das Fehlermaß mit kleiner werdendem Steifigkeitsverhältnis schneller fällt. Die Auswahl der für die vorliegenden Randbedingungen passenden Volumenänderungsfunktion (und damit die Berücksichtigung der genauen Einspannsituation) ist für typische Rohr- und Schlauchleitungswerkstoffe (0,3 < μ < 0,5) folglich von untergeordneter Bedeutung für die rechnerische Bestimmung der effektiven Schallgeschwindigkeit. Möchte man – der Einfachheit halber – gänzlich auf eine Unterscheidung der verschiedenen 70 O+P Fluidtechnik 4/2017
VERBINDUNGSELEMENTE Randbedingungen verzichten, so bietet sich die Verwendung einer aus den Fällen „A“ und „B“ gemittelten Volumenänderungsfunktion ψ an: 2 ⎛1 ⎞ 21 ( + µ ) + 5ϲ ⎜ − µ ⎟ 2 ψ = ⎝ ⎠ 2 1− ϲ Der dadurch induzierte maximale Fehler ergibt sich zu: (33) ∆a 2,25 −1,5µ lim = −1 (34) ϲ →1 a 2 − µ Bei einer Querkontraktionszahl μ = 0,3 ist demnach von einem größten Fehler von lediglich 2,90 % auszugehen, was den Anforderungen der Praxis genügen dürfte. 4.4. EINFLUSS DER „DÜNNWANDIGEN NÄHERUNG“ In diesem Abschnitt soll der Fehler, der durch die Verwendung der vereinfachten Spannungsverteilung entsteht, abgeschätzt werden. Dazu wird die relative Abweichung zwischen der Schallgeschwindigkeit a 0 , die sich nach der Näherungsgleichung für dünnwandige Rohre ergeben würde, und der nach den exakten Gleichungen berechneten Schallgeschwindigkeit a gebildet: 02 Verlauf der Volumenänderungsfunktionen über der rel. Wandstärke 03 Relativer Fehler durch Verwendung der „dünnwandigen Näherung“ O+P Fluidtechnik 4/2017 71
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