Sympathetische Kühlung von Rb- Rb-Gemischen

2. Theoretische Einführung 11
2. Theoretische Einführung
Schon bei der Erzeugung kalter Gaswolken spielen Stöße eine zentrale Rolle, da durch sie
Energie und Impuls zwischen einzelnen Atomen der Wolke während des Kühlvorgangs ausgetauscht
werden (siehe auch Kapitel 3.2 auf Seite 22). Der erste Teil dieses Kapitels soll
daher die Grundlagen binärer ultrakalter Stöße beschreiben.
Auch bei der Beschreibung des Ruhezustandes eines Bose-Einstein-Kondensates (BEC)
sind Stöße von zentraler Bedeutung: sie bestimmen Form, Energie und Anregungsspektrum
eines BECs, wie es kurz im letzten Teil dieses Kapitels erläutert wird. Für eine weiterführende
Beschreibung siehe z. B. die Referenzen [9, 10].
2.1. Ultrakalte Stöße
Im Allgemeinen wird ein Stoß zwischen zwei Teilchen mit den Orten r1 und r2, den Geschwindigkeiten
v1 und v2 und den Massen m1 und m2 in relativen Koordinaten behandelt,
so daß nur ein Teilchen reduzierter Masse m betrachtet wird, welches mit Geschwindigkeit
v an einem Streupotential im Zentrum des Koordinatensystems stößt:
m = m1 m2
m1 + m2
(2.1a)
r = r1 − r2 (2.1b)
v = v1 − v2 . (2.1c)
Dadurch wird die Relativbewegung innerhalb des Zwei-Teilchen-Systems von der vom
Stoß unbeeinflußten Schwerpunktsbewegung des Systems separiert und nur noch die Relativbewegung
betrachtet.
2.1.1. Beschreibung im Wellenbild
Der Hamilton-Operator der Relativ-Bewegung im Potential V (r) lautet:
ˆH = ˆp2
+ V (ˆr) . (2.2)
m
Als Lösung für große Entfernungen vom Zentrum ergibt sich eine Überlagerung aus einer
einlaufenden ebenen Welle und einer auslaufenden Kugelwelle. Mit dem Wellenvektor k
läßt sich die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für Eigenenergien Ek =
�2 k2 /(2 m) ausdrücken als:
ψk(r) ∝ e i k·r + f(k, n, n ′ ) eikr
r
. (2.3)