Sympathetische Kühlung von Rb- Rb-Gemischen

2.1. Ultrakalte Stöße 13
Mit diesem Ansatz kann wieder die Schrödingergleichung gelöst werden. Hierbei tauchen
allerdings Terme Pl(cos ϑ) ± Pl(− cos ϑ) auf. Mit der Symmetrie der Legendre-Polynome
gilt dann:
Bosonen: σ = 2
Fermionen: σ = 2
4 π
k 2
4 π
k 2
�
l gerade
�
l ungerade
(2 l +1)sin 2 δl
(2.11a)
(2 l +1)sin 2 δl . (2.11b)
Im Vergleich zur Definition (2.8) fällt auf, daß die Summen hier nur über jeweils die Hälfte
der möglichen Drehimpulse laufen. Dafür ist jeder einzelne Summand mit einem Faktor 2
gewichtet.
θ
π−θ
Abbildung 2.1.: Die beiden gezeigten Stöße sehen zwar in großen Entfernungen
von Fallenzentrum gleich aus, haben aber intern
einen unterschiedlichen Ablauf.
2.1.3. Stöße niedriger Energie
Im Fall niedriger Stoßenergien wird das durch die Zentrifugal-Barriere erzeugte Pseudo-
Potential
Vzentr = �2
l (l +1) (2.12)
2 mr2 groß gegen das Molekül-Potential. Diese Barriere reflektiert die Atome, bevor diese in den
Bereich des Molekül-Potentials kommen können. Atome mit l �= 0stoßen also nicht miteinander,
bei ultrakalten Temperaturen gibt es nur s-Wellen-Stöße.
Etwas formaler kann gezeigt werden [9], daß für kleine Energien und damit für kleine
Wellenvektoren k gilt:
2 l+1
δl ∝ k
(2.13)
und damit von den Summen in den Gleichungen (2.8) bzw. (2.11) für k → 0 nur der Anteil
mit l =0übrig bleibt: