Sympathetische Kühlung von Rb- Rb-Gemischen

2.2. Einfluß der Streulänge auf das Kondensat 15
a(B) =ã
�
1 −
∆
B − B0
�
(2.19)
mit dem Wert der Streulänge ã weit von der Resonanz entfernt, der Breite der Resonanz ∆
und dem Magnetfeld im Zentrum der Resonanz B0. Über das Vorzeichen der Breite ∆ wird
festgelegt, ob die Streulänge für Magnetfelder größer oder kleiner als B0 negativ wird. Ein
Beispiel für eine Feshbach-Resonanz zeigt Abbildung 2.3 auf der nächsten Seite.
2.2. Einfluß der Streulänge auf das Kondensat
Die Beschreibung eines Bose-Einstein-Kondensates basiert meistens auf einer nicht-linearen
Schrödinger-Gleichung, der Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE, für eine Übersicht siehe z. B.
Referenz [12]):
i � ∂
∂t ψ(r,t)=
�
− �2∇2 2 m + V (r)+4 π �2 a
m
|ψ(r,t)|2
�
ψ(r,t) . (2.20)
In dieser modelliert der dritte Term in der Klammer die Wechselwirkung zwischen den
Atomen aufgrund binärer s-Wellen-Stöße durch ein ausgeschmiertes “Mean-Field”. Dominiert
dieser Term über die kinetische Energie, so werden die Eigenschaften des Kondensates
durch die Streulänge a bestimmt. Dies ist bereits bei Wolkengrößen von 104 Atomen der
Fall.
Die Grundzustands-Energie der GPE (2.20) kann für ein harmonisches Fallenpotential mit
den Fallenfrequenzen ω⊥ und ωz berechnet werden:
� �
�2 E(ψ) =
2 m |∇ψ(r)|2 + m
2 (ω2 ⊥ x2 + ω 2 ⊥ y2 + ω 2 z z 2 ) |ψ(r)| 2 +
+ 2 π �2 a
m |ψ(r)|4
�
dr (2.21)
dabei ergibt der letzte Term die sogenannte “Mean-Field-Energie”. Ist in Gleichung (2.21)
die kinetische Energie klein gegen die Mean-Field-Energie, dann kann in der GPE (2.20) der
Term der kinetischen Energie vernachlässigt werden und die genäherte Lösung ist (Thomas-
Fermi-Näherung):
�
m
ψ(r) =
4 π �2 max(0,µ− V (r)) . (2.22)
a
Das Kondensat in einer harmonischen Falle hat dadurch also eine Dichteverteilung mit der
Form einer umgedrehten Parabel (n ∝|ψ| 2 ). Das chemische Potential µ ergibt sich aus der
Teilchenzahl-Erhaltung:
µ =
� ω
2
�
15 N a
aho
� 2/5
(2.23)