Sympathetische Kühlung von Rb- Rb-Gemischen

12 2. Theoretische Einführung
Dabei ist f(k, n, n ′ ) die vom Wellenvektor k, der Einfallsrichtung n = k/k und der
Beobachtungsrichtung n ′ = r/r abhängige Streuamplitude. Es folgt aus der Schrödinger-
Gleichung:
f(k, n, n ′ )=− m
2 π � 2
�
e −ikn′ ·r ′
V (r ′ ) ψk(r)d 3 r ′ . (2.4)
Für ein radialsymmetrisches Streu-Potential ist auch die Streuamplitude radialsymmetrisch
und nur noch von k und ϑ = ∢(n, n ′ ) abhängig. Durch diese Symmetrie bieten
sich als Basis die Kugelflächenfunktionen an. Mit Hilfe einer Partialwellenzerlegung der
Wellenfunktion
ψk(r) =
∞�
�+l
l=0 ml=−l
Y ml
uk,l,ml (r)
l (ϑ, ϕ)
r
(2.5)
kann die Schrödinger-Gleichung dann in eine radiale Differentialgleichung überführt werden:
u ′′
k,l (r)+
�
k 2 l (l +1)
−
r2 2 mV(r)
−
�2 �
uk,l(r) =0. (2.6)
Dabei ist uk,l ≡ uk,l,ml=0. Entsprechend wird auch die Streuamplitude in eine Summe
von Partialwellen zerlegt:
f(k, ϑ) = 1
2 ik
�
(2 l +1)(e 2 iδl − 1)Pl(cos ϑ) (2.7)
l
mit den Streuphasen δl der Partialwellen. Sie folgen aus der radialen Wellengleichung (2.6).
Über die Streuamplitude kann der Streuquerschnitt σ berechnet werden. Der Streuquerschnitt
ist anschaulich die Querschnittsfläche eines kugelförmigen, harten Streupotentials.
Im Allgemeinen gilt jedoch:
�
σ :=
4 π
|f| 2 dΩ=
4 π
k 2
2.1.2. Ununterscheidbare Stoßpartner
�
(2 l +1)sin 2 δl . (2.8)
Betrachten wir nun den Fall identischer Stoßpartner. In diesem Fall sind die Teilchen nicht
unterscheidbar und ein bestimmter Winkel in einem Stoß kann auf zwei unterschiedliche
Weisen realisiert werden (vgl. Abbildung 2.1 auf der nächsten Seite).
Für die Gesamt-Wellenfunktion muß eine Symmetrie bei Vertauschung der Teilchen gelten:
Ψ(r1, r2) =±Ψ(r2, r1) für Bosonen
Fermionen . (2.9)
Beim Übergang in relative Koordinaten wird dies zu:
l
ψ(r) =±ψ(−r) . (2.10)