Polymers in Confined Geometry.pdf

Contents
1 Introduction 1
2 Polymer models 5
2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Ideal phantom chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Semi-flexible polymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Kratky-Porod model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Worm-like chain model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Stiff polymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Weakly-bending rod approximation . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Real chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Polymers in confined geometry 21
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Scaling relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 The flexible regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 The stiff regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Analytical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Averages by Fourier transformation . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Averages by Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.3 Radial distribution function . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Simulation methods 37
4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 The Monte-Carlo method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Sampling the canonical ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.1 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Metropolis algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.3 Correlations and error calculation . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.4 Recursive averaging and error calculation . . . . . . . . . . 46
4.3.5 Random number generators . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Simulation of unconfined worm-like chains . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.1 Initial part of the simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iii