THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

1.1. Objet de la thèse 7calculées dans le modèle de densité sur les classes de Hölder Σ(β,L) et sont les mêmesque dans les modèles de régression et bruit blanc gaussien (cf. Ibragimov et Hasminskii(1981)).Pour l’estimation sur des classes hölderiennes multidimensionnelles isotropes, de régularitéβ > 0 dans chaque direction, Stone (1980,1982) a prouvé que, dans le modèlede régression, la vitesse de convergence est n − β2β+d pour l’estimation en norme Lp avec) β2β+dp ∈ [1,∞[ ou en un point fixé, et ( log npour l’estimation en norme Ln∞ . Nussbaum(1986) a trouvé des vitesses identiques pour l’estimation sur des classes de Sobolev multidimensionnellesisotropes dans le modèle de régression.Les vitesses de convergence pour l’estimation en norme L ∞ sur des classes hölderiennesanisotropes n’ont pas été calculées dans les modèles (1.1) et (1.2). Par contre, plusieursrésultats d’estimation sur des classes anisotropes de régularité (β 1 , . . . ,β d ) ∈ R + montrentque les vitesses de convergence dépendent de β = ( ∑ di=1 1/β i) −1 . Barron et al. (1999) ontmontré que la vitesse de convergence est n − 2β+1 , dans le modèle de densité, pour l’estimationen norme L 2 de fonctions hölderiennes anisotropes. Kerkyacharian et al. (2001), dansle modèle de bruit blanc gaussien, pour l’estimation sur des classes de Besov anisotropesen norme L p avec p ∈ [1,∞[ ont trouvé une vitesse similaire ( cf. aussi Neumann et vonSachs (1997) dans le cas d = 2 pour l’estimation en norme L 2 sur des classes de Sobolevanisotropes dans le modèle de bruit blanc gaussien).Concernant l’estimation de fonctions hölderiennes additives, on a les résultats suivants.Pour l’estimation en norme L 2 de fonctions additives f vérifiantβf(t) = µ +d∑f i (t i ),t = (t 1 , . . . ,t d ) ∈ [0,1] d , (1.3)i=1avec µ ∈ R et les f j ∈ Σ(β,L) avec β > 0 et L > 0, Stone (1985) a prouvé que lavitesse de convergence est n − β2β+1 dans le modèle de régression, i.e. il existe un effet deréduction de la dimension car la vitesse ne dépend pas de d. Baraud et al (2001) et Baraud(2002) ont montré que, dans un modèle de régression, pour l’estimation en norme L 2 defonctions f vérifiant (1.3) avec f j appartenant à une classe de Besov de régularité β i où(β 1 , . . . ,β d ) ∈ R d +, la vitesse de convergence est n − ˜β2 ˜β+1 , où ˜β = mini=1,...,d β i .Les ouvrages et articles de Korostelev et Tsybakov (1993), Donoho et al. (1995), Härdleet al. (1998) et Tsybakov (2004) donnent un aperçu des résultats sur les vitesses deconvergence.Si les vitesses de convergence minimax sont connues pour de nombreux modèles etclasses de fonctions, par contre, il existe moins de résultats sur les constantes exactes.Le premier résultat de constante exacte est dû à Pinsker (1980). Pinsker (1980) a trouvéla constante exacte et un estimateur asymptotiquement exact dans le cas de l’estimationen norme L 2 pour la fonction de perte w(x) = x 2 sur des classes de Sobolev unidimensionnellesdans un modèle de bruit blanc gaussien. Les résultats de Pinsker (1980) ont