THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

5.2. Application au problème d’approximation d’une fonction Hölderienne 79(iv) Montrons que si g β est solution de (Q ani1,1 (β)) alors la fonction f β définie parf β (t) = ag β (b 1 t 1 , . . . ,b d t d ), avec a et b = (b 1 , . . . ,b d ) donnés parab β ii = 1, i = 1, . . . ,d (5.18)d∏a b −1/2i ‖g β ‖ 2 2 = 1, (5.19)i=1est solution de (P1,1 ani (β)). En effet, si f β n’est pas solution de (P1,1 ani (β)), alors il existe unefonction ˜f β qui vérifie ˜f β (0) = λf β (0) avec λ > 1, ˜f β ∈ Σ ani (β,1), ‖ ˜f β ‖ 2 2 = 1 d’après (iii).La fonction ˜g β définie par˜g β (t) = 1 (λa ˜ft1β , . . . , t )d,b 1 b dvérifie ˜g β (0) = g β (0) = 1, ˜g β ∈ Σ ani (β,1). De plus, on a ‖˜g β ‖ 2 = λ −1 ‖g β ‖ 2 < ‖g β ‖ 2 , cequi est impossible si g β est solution de (Q ani1,1 (β)). D’où f β est solution de (P1,1 ani (β)). Dela même manière, on a que si f β est solution de (P1,1 ani (β)), alors la fonction g β définie parg β (t) = a −1 g β (b −11 t 1 , . . . ,b −1dt d), avec a et b = (b 1 , . . . ,b d ) donnés par (5.18) et (5.19) estsolution de (Q ani1,1 (β)). En utilisant l’équation (5.18), on déduit que la solution de (Q ani1,1 (β))est donnée par (5.16).On peut trouver explicitement la solution du problème (P1,1 ani (β)) quand β ∈]0,1] d .Proposition 5.8. Pour β = (β 1 , . . . ,β d ) ∈]0,1] d , la solution de (P anif aniβoùetdéfinie parfβani (t) = λ aniβλ aniβoù Γ est la fonction Gamma.()d∑1 − (λ aniβ ) −1 |t i | β ii=1= fβani (0) = Eβ ani (1,1) =(+∏α = 2d di=1 Γ(1/β i)Γ(1/β) ∏ di=1 β ,i1,1 (β)) est la fonction, t = (t 1 , . . . ,t d ) ∈ R d (5.20)2αβ 3(2β + 1)(β + 1)) −β2β+1Démonstration. Nous allons utiliser le résultat (iv) de la Proposition 5.7. Montrons quela solution de (Q ani1,1 (β)) pour β ∈]0,1] d est la fonction()g aniβ (t) =1 −d∑|t i | β ii=1+, t = (t 1 , . . . ,t d ) ∈ R d . (5.21)