THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

82 Optimal recovery et estimation statistiqueoù w est une fonction de perte continue croissante majorée par un polynôme et telle) βque w(0) = 0 et ψ n = ( log n 2β+1est la vitesse de convergence minimax sur Σ(β,L)n(cf.Ibragimov and Hasminskii (1981)). On s’intéresse à l’asymptotique du risque minimaxquand n → ∞ et à trouver les estimateurs statistiques à noyau optimaux.Considérons un estimateur à noyau défini pour t ∈ [0,1] parˆf K,h (t) = 1 ∫ ( ) u − tK dY u ,h hRavec K ∈ L 2 (R) et h > 0. Le biais de cet estimateur, pour f ∈ Σ(β,L) et t ∈ [0,1], estdonné par[ ]b K,h (f,t) = E f ˆfK,h (t) − f(t).NotonsB K,h =sup ‖b K,h (f,·)‖ ∞ .f∈Σ(β,L)Soit Z K,h la partie stochastique de l’erreur de ˆf K,h , définie pour t ∈ [0,1] parZ K,h (t) = ˆf[ ]K,h (t) − E f ˆfK,h (t) = 1 ∫ ( ) u − th √ K dW u .n R hProposition 5.11. On aB K,h = sup ‖b K,h (f)‖ ∞ = sup∣ f(0) − 1 ∫ ( u K f(u)duf∈Σ(β,L)f∈Σ(β,L) h R h)∣∫= Lh β sup∣ f(0) − K(u)f(u)du∣ .f∈Σ(β,1)Cette proposition est une conséquence des propriétés de l’invariance par translation dela classe Σ(β,L) et de la norme L ∞ et se démontre de la même façon que la Proposition5.5. De plus, en appliquant le Lemme 3.4 de l’annexe du Chapitre 3 au processus √ hZ ε K,hon obtient la proposition suivante.Proposition 5.12. Le processus Z K,h vérifielimh→0 P fpour tout 0 < δ < 1/2.[‖Z K,h ‖ ∞ >√ ε√ ]‖K‖ 2 (1 + δ) 2 log 1 = 0h hÉtant donné qu’on veut trouver les estimateurs à noyau optimaux, étudions la quantitéinfK∈L 2 (R)h>0RR( ˆf K,h ). (5.25)