THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

5.2. Application au problème d’approximation d’une fonction Hölderienne 71(ii) La fonction f β est paire, à support compact et vérifie f β (0) > 0.(iii) La fonction f β vérifie ‖f β ‖ 2 = 1.(iv) Soit (Q 1,1 (β)) le problème d’optimisation, dual de (P 1,1 (β)),(Q 1,1 (β)) infg∈Σ(β,1)g(0)=1‖g‖ 2 .Alors f β est solution de (P 1,1 (β)) si et seulement si la solution de (Q 1,1 (β)) est, pourt ∈ R,g β (t) = 1)f β (0) f β((f β (0)) 1 β t .(v) La fonction g β vérifie∫Rg β (t)dt =2β ∫g2β + 1β(t)dt.2RLes propriétés (i) et (ii) sont montrées dans Leonov (1997). Les propriétés (iii) et (iv)se démontrent de la même façon que (iii) et (iv) dans la démonstration de la Proposition5.7. La propriété (v) a été prouvée par Leonov (1999).La fonction f β n’est pas connue excepté pour β ∈]0,1] et β = 2. On a la propositionsuivante.Proposition 5.3. (i) Pour 0 < β ≤ 1, la solution de (P 1,1 (β)) est la fonction f β définieparf β (t) = λ β (1 − λ −1β |t|β ) + , t ∈ R,où( ) β(2β + 1)(β + 1)2β+1λ β = f β (0) = E β (1,1) =.4β 2(ii) Pour β = 2, la solution de (P 1,1 (β)) est la fonction f β définie parf β (t) = θ −2/5 g β (θ −2/5 t),où g β est la solution du problème (Q 1,1 (β)) et satisfaitg β (t) =∞∑j=0[(−1) j q j + 1 2 (−1)j+1 (t − t 2j ) 2 ]I {t∈[t2j−1 ,t 2j+1 ]},q = 1 16(3 + √ √33 − 26 + 6 √ 233),θ = 2(23q2 − 14q + 23) √ 1 + q,30(1 − q 5/2 )t −1 = t 0 = 0, t 1 = √ 1 + q et pour j ∈ N ∗ , t 2j = 2 √ 1 + q ∑ j−1i=0 qi/2 , t 2j+1 =t 2j + q j/2√ 1 + q.