THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

5.2. Application au problème d’approximation d’une fonction Hölderienne 755.2.2 Cas d’une fonction Hölderienne anisotropeOn dispose des observations {y(t), t ∈ R d } avec d ≥ 1, qui vérifienty(t) = f(t) + εz(t), t ∈ R d , (5.12)où ε > 0, z est une fonction telle que ‖z‖ 2 ≤ 1, f est une fonction inconnue appartenantàC ani (β,L) Σ ani (β,L) ∩ {f : R d → R,‖f‖ 2 < ∞}où ‖f‖ 2 = (∫ f 2 (t)dt ) 1/2R , β = d (β1 , . . . ,β d ) ∈]0, + ∞[ d tel que ⌊β i ⌋ = ⌊β j ⌋ pour i,j ∈{1, . . . ,d}, L = (L 1 , . . . ,L d ) ∈]0,∞[ d et la classe Σ ani (β,L) est donnée dans la définitionsuivante.Définition 5.3. Soit β = (β 1 , . . . ,β d ) ∈]0, + ∞[ d tel que ⌊β i ⌋ = ⌊β j ⌋ l pour i,j ∈{1, . . . ,d} et L = (L 1 , . . . ,L d ) ∈]0, + ∞[ d . On définit la classe de Hölder anisotrope multidimensionnelleΣ ani (β,L) comme l’ensemble des fonctions f de classe C l sur R d quivérifientd∑|f(b) − P l (f)(b − a,a)| ≤ L i |b i − a i | β i,où a = (a 1 , . . . ,a d ),b = (b 1 , . . . ,b d ) ∈ R d et P l (f)(x,a) est le polynôme de Taylor d’ordre lassocié à f au voisinage de a.• Approximation en un point fixé.Notre but est d’approcher, dans un premier temps, la fonctionnelle linéaire f(0, . . . ,0) =f(0), de trouver l’erreur minimax et un algorithme optimal. On notera par la suite0= (0, . . . ,0) et 1= (1, . . . ,1). Notre démarche sera identique à celle du paragraphe précédent.De la même façon, on aEβani (ε,L) inf̂T= infsupf∈C ani (β,L)‖f−y‖ 2 ≤εK∈L 2 (R d ) f∈C ani (β,L)‖f−y‖ 2 ≤ε= infK∈L 2 (R d ){∣ ̂T (y) − f(0)supsupf∈C ani (β,L)i=1∣ =supf∈Σ ani (β,L)‖f‖ 2 ≤ε∫∣ K(t)y(t)dt − f(0)∣R df(0)∫}∣ K(t)f(t)dt − f(0)∣ + ε‖K‖ 2 .R dOn définit le problème d’optimation (Pε,L ani (β)) de la façon suivante(P aniε,L (β))supf∈Σ ani (β,L)‖f‖ 2 ≤εf(0).