THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

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Table des matières 3.2 Un théorème de borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119.3 Quelques théorèmes d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Bibliographie 120
4 Chapitre 1. IntroductionChapitre 1Introduction1.1 Objet de la thèseCette thèse présente plusieurs résultats d’estimation minimax asymptotiquement exacteen norme L ∞ , de fonctions multidimensionnelles principalement. Ces résultats sont obtenusdans deux modèles statistiques: le modèle de régression et le modèle de bruit blancgaussien. Nous estimons des fonctions appartenant à différentes classes de fonctions hölderiennesF(β,L) où β est un paramètre de régularité et L est un paramètre d’amplitude.Nous adoptons deux approches dans la procédure d’estimation: l’approche minimax danslaquelle les paramètres de la classe de fonctions sont connus, et l’approche minimax adaptativedans laquelle les paramètres de la classe de fonctions sont inconnus. Nous nousintéressons à la vitesse de convergence sur la classe F(β,L) et à l’asymptotique exact durisque minimax ou du risque minimax adaptatif sur les différentes classes de fonctionsconsidérées.Le modèle de régression non-paramétrique est donné parY i = f(X i ) + ξ i , i = 1, . . . ,n, (1.1)où f est la fonction à estimer à partir de n observations (X 1 ,Y 1 ), . . . ,(X n ,Y n ), Y i ∈ R,X i ∈ [0,1] d , d ∈ N ∗ et les ξ i sont des variables gaussiennes de moyenne nulle et de varianceσ 2 > 0 (N (0,σ 2 )) indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.). Ce modèle est ditmodèle de régression à pas fixe si les X i sont des points déterministes dans [0,1] d (parexemple pour d = 1, X i = i/n, i ∈ {1, . . . ,n}). Ce modèle est dit modèle de régression àpas aléatoire si les X i sont des variables aléatoires dans [0,1] d , et nous étudions dans cettethèse le cas où les X i sont i.i.d. et indépendantes des ξ i .Le modèle de bruit blanc gaussien est défini par l’équation différentielledY t = f(t)dt + σ √ ndW t , t ∈ ∆, (1.2)où f est la fonction à estimer à partir des observations (Y t ) t∈∆ , W t est un champ Browniensur ∆, σ > 0 et n ∈ N ∗ . On étudiera le cas ∆ = [0,1] d et ∆ = R d . Le modèle de bruit
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5.3. Lien entre l’optimal recover
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5.4. Etudes des constantes 87sente
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6.2. Main results 91and we denote b
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6.3. Some preliminary results 97Pro
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6.4. Proof of Theorem 6.1 99Let 0 <
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6.4. Proof of Theorem 6.1 101where
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6.5. Proof of Theorem 6.2 103withA
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6.6. Proof of Theorem 6.3 109By Pro
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6.7. Proof of Theorem 6.4 111The pr
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6.8. Proofs of the lemmas and propo
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119Annexe.1 Résultats sur les proc
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Bibliographie 121BibliographieAdler
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Bibliographie 123Fuller, A. T. (196
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Bibliographie 125Micchelli, C. A. a
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