THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

119Annexe.1 Résultats sur les processus gaussiensDéfinition. Soit (T,ρ), un espace T muni d’une semi-métrique ρ et ε > 0. Un sousensembleS ⊂ T est appelé un ε-réseau de l’ensemble T si, pour tout t ∈ T , il existes ∈ S tel que ρ(s,t) ≤ ε. On note N(T,ε), le nombre minimum de points d’un ε-réseau del’ensemble T . On appelle alors intégrale de Dudley de l’espace (T,ρ), la quantitéD(T,ε) =∫ ε0(log N(T,ε)) 1/2 .Définition. Soit {ξ t ,t ∈ T } un processus gaussien(i.e. pour tout (t 1 , . . . ,t n ) ∈ T , (ξ t1 , . . . ,ξ tn )est un vecteur gaussien). On définit la semi-métrique ρ ξ , associé à ξ, parρ ξ (s,t) = √ E [(ξ t − ξ s ) 2 ],où (s,t) ∈ T . L’intégrale de Dudley associé au processus gaussien ξ est l’intégrale deDudley de l’espace (T,ρ ξ ).Théorème. (Lifshits, 1995) Soit {ξ t ,t ∈ T } un processus gaussien centré tel que sonintégrale de Dudley est finie (i.e. D(T,ε) < ∞ pour tout ε > 0) et tel que l’espace (T,ρ ξ )est totalement borné. Alors, pour tout r ≥ 4 √ 2D(T,σ/2), on a l’inégalité{ }P sup ξ t > rt∈T≤ 1 − Φ(r − 4 √ 2D(T,σ/2)σoù σ = √ sup t∈T V arξ t et Φ est la fonction de répartition d’une variable gaussienne centéeréduite.),.2 Un théorème de borne inférieureSoit w : [0,∞[→ [0,∞[ une fonction croissante. Soit (Θ,S) un espace mesurable deparamètres muni d’une pseudo-distance d(·,·) (i.e., d(·,·) satisfait la définition de distance,