THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

70 Optimal recovery et estimation statistiqueoù L(Y ) est l’ensemble des fonctionnelles linéaires continues sur L 2 (R) à valeurs dans R.On déduit donc de (5.2) et des relations précédentes que{∫}E β (ε,L) = sup f(0) =sup∣ K(t)f(t)dt − f(0)∣ + ε‖K‖ 2 . (5.4)f∈Σ(β,L)‖f‖ 2 ≤εinfK∈L 2 (R)f∈C(β,L)Pour évaluer l’erreur minimax du problème d’O.R., il suffit donc résoudre le problèmed’optimisation(P ε,L (β)) supf∈Σ(β,L)‖f‖ 2 ≤εRf(0).Pour trouver un algorithme optimal, il faut trouver K ∈ L 2 (R) qui réalise l’infimum dans(5.3).Renormalisation.Donoho (1994a) a mis en évidence des propriétés de renormalisation relativement auproblème d’optimisation (P ε,L (β)) et aux algorithmes optimaux pour le problème d’approximationde f(0), qui sont données dans la proposition suivante.Proposition 5.1. Soit β > 0.(i) Pour L > 0 et ε > 0, on aE β (ε,L) = E β (1,1)L 1/(2β+1) ε 2β/(2β+1) .(ii) Si ˆT 1,β (y) = ∫ K R β(t)y(t)dt est un algorithme optimal pour le problème d’approximationde la fonctionnelle f(0) avec ε = 1, L = 1 et K β ∈ L 2 (R), alors ˆT ε,β (y) =∫K R h,β(t)y(t)dt, où K h,β (t) = 1 K h β( t ) et h = ( ) 2ε 2β+1, est un algorithme optimalh Lpour le problème d’approximation de la fonctionnelle f(0) avec ε > 0 et L > 0.La preuve de cette proposition se trouve dans Donoho (1994a) ou bien s’obtient facilementde la Proposition 5.6 donnée au Paragraphe 5.2.2. Ainsi pour trouver la solution duproblème d’approximation pour L > 0 et ε > 0 quelconques, il suffit de trouver la solutionpour ε = 1 et L = 1.Problème d’approximation de f(0) pour ε = 1 et L = 1.Il y a plusieurs résultats connus sur le problème (P 1,1 (β)) que l’on donne dans la propositionsuivante.Proposition 5.2. Soit β > 0.(i) Il existe une unique solution f β au problème (P 1,1 (β)).