THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

80 Optimal recovery et estimation statistiqueTout d’abord, elle vérifie gβani (0) = 1 et gani β ∈ Σ ani (β,1). Par ailleurs si une autre fonction˜g vérifie ˜g(0) = 1 et ˜g ∈ Σ ani (β,1) alors ˜g(t) ≥ ˜g(0) − ∑ di=1 |t i| β i= 1 − ∑ di=1 |t i| β i. On aalorsd∑˜g(t) ≥ gβ ani (t), pour t = (t 1 , . . . ,t d ) ∈ R d tel que |t i | β i≤ 1.Ceci implique que∫‖˜g‖ 2 2 ≥∆˜g 2 ≥ ‖g aniβ ‖ 2 2où ∆ = {t = (t 1 , . . . ,t d ) ∈ R d tel que ∑ di=1 |t i| β i≤ 1}. Donc gβani est solution de (Q ani1,1 (β))pour β ∈]0,1] d .La fonction fβani (t) = agβani(b1t 1 , . . . ,b d t d ) est donc solution de (P1,1 ani (β)) pour β ∈]0,1] det a et b définis en (5.18) et (5.19). Identifions ces coefficients. D’après les Lemmes 3.1 ou3.3 du Chapitre 3, on a ‖g aniβ ‖2 2 =2αβ 3. On obtient par un calcul similaire à celui(2β+1)(β+1)de la preuve (ii) de la Proposition 5.6 que a = ‖gβani2 = fβani (0) et que b i = a − 1 β i . Laproposition est ainsi démontrée.De plus, la solution f aniβ2β‖− 2β+1de (P ani1,1 (β)) permet d’obtenir les algorithmes optimaux du problèmed’approximation de la fonctionnelle f(0).Proposition 5.9. Soit β ∈]0,1] d ani. L’algorithme ˆTK aniβ (t) =i=11,β = ∫ K aniR d β (t)y(t)dt, avecfβani (t)∫f aniR d β(u)du ,et fβani la fonction définie en (5.20), est un algorithme optimal pour le problème d’estimationde la fonctionnelle f(0), avec ε = 1 et L = 1.Démonstration. Ceci est une conséquence du Théorème 5.3 et des relations suivantes‖K aniβˆTani1,β (f ani‖ 2 = ∣max ∣f(0) −f∈Σ ani (β,1)β ), (5.22)∣ani1,β (f) ∣ = max ∣f(0) − ˆT 1,β (f) ∣ = fβani ani(0) − ˆT 1,β (fβ ani ). (5.23)ˆTanif∈C ani (β,1)Ces deux relations se montrent de la même façon que dans la preuve de la Proposition 5.4.On utilise en particulier que, pour β ∈]0,1] d , la fonction fβani est à support compact pourprouver la relation (5.23).Problème d’approximation pour ε et L quelconques.Comme précedemment les Propositions 5.8 et 5.9 donnent la solution du problème d’approximationde la fonctionnelle f(0) pour ε = 1, L = 1 et β ∈]0,1] d . Il suffit d’utiliserla Proposition 5.6 pour obtenir l’erreur minimax et un algorithme optimal pour ε > 0