THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

68 Optimal recovery et estimation statistiqueDéfinition 5.2. On note e(ε,C) la quantitée(ε,C) =sup ‖Uf‖ Vf∈C‖If‖ Y ≤εet on appelle fonction la plus défavorable une fonction f qui vérifie ‖Uf‖ V = e(ε,C)avec ‖If‖ Y ≤ ε et f ∈ C.On a le théorème suivant.Théorème 5.1. Si C est un convexe équilibré (c’est-à-dire si f ∈ C alors −f ∈ C) alorse(ε,C) ≤ E(ε,C) ≤ 2e(ε,C).Ce théorème met en évidence l’importance de la quantité e(ε,C) dans le problème d’O.R.Supposons désormais que X est un espace vectoriel sur R, que (V,‖ · ‖ V ) = (R,| · |),autrement dit U est une fonctionnelle linéaire, et que C est un sous-ensemble convexe équilibréde X. Dans ce cas, s’il existe des algorithmes optimaux, alors il existe un algorithmeoptimal linéaire et continu comme le montre le résultat suivant.Théorème 5.2. Pour ε > 0, on aE(ε,C) = e(ε,C) =inf supˆT ∈L(Y ) f∈C‖If−y‖ Y ≤ε= infˆT ∈L(Y ){supf∈C∣∣Uf − ˆT (y)∣∣∣Uf − ˆT }(If) ∣ + ε‖ ˆT ‖ ,où L(Y ) est l’ensemble des algorithmes linéaires et continus. De plus, si il existe ˆT ∈ L(Y )tel que sup f∈C |Uf − ˆT (If)| < ∞, alors pour ε > 0, un algorithme optimal linéaire etcontinu existe.Théorème 5.3. Si f 0 est une fonction la plus défavorable alors ˆT 0 ∈ L(Y ) est un algorithmeoptimal ssi(i)(ii)ε‖ ˆT 0 ‖ = ˆT 0 (If 0 )maxf∈C |Uf − ˆT 0 (If)| = Uf 0 − ˆT 0 (If 0 ).Ce théorème est intéressant car il permet de donner une caractérisation des algorithmesoptimaux.