THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

1.1. Objet de la thèse 9Un troisième cas où l’étude des constantes exactes a été faite est l’estimation surdes classes de fonctions analytiques, pour l’estimation en norme L p , 1 ≤ p ≤ ∞, dansle modèle de bruit blanc gaussien (cf. Golubev, Levit et Tsybakov (1996) et Guerre etTsybakov (1998)) et l’estimation en un point fixé dans le modèle de densité (cf. Golubevet Levit (1996)).D’autres résultats de constantes exactes sont donnés par Korostelev (1996) dans lemodèle de régression pour le risque basé sur la probabilité de grande déviation en unpoint fixé ou associé à la norme L ∞ et par Lepski et Tsybakov (2000) pour l’etude destests d’hypothèse asymptotiquement exacts.1.1.2 Approche minimax adaptativeDans l’approche minimax adaptative, on suppose toujours que la fonction f à estimerappartient à une classe de fonctions F. Dans la pratique, la classe F est inconnue maisnous pouvons supposer que F ∈ {F β } β∈B , où B est un ensemble donné et les F β sont desclasses connues de fonctions. On définit la quantité{R n,β ( ˆf n ,λ n ) = sup E f wf∈F β(d( ˆf)}n ,f),λ npour (λ n ) n∈N une suite strictement positive qui tend vers 0 et ˆf n un estimateur. Pourβ ∈ B, on suppose que ψ n (β) est la vitesse de convergence minimax sur la classe F βassociée à la semi-distance d. On cherche tout d’abord s’il existe des estimateurs “optimalau sens adaptatif en vitesse de convergence”, i.e. des estimateurs indépendants de β ∈ Bqui convergent à la vitesse ψ n (β) sur chacune des classes F β . On s’intéresse ensuite àpréciser le comportement asymptotique de ces estimateurs en cherchant la “constanteexacte adaptative” et des estimateurs asymptotiquement exacts adaptatifs et on étudie lerisque minimax adaptatifinfˆf nsup R n,β ( ˆf n ,ψ n (β)).β∈BDéfinition 1.4. Un estimateur ˆf n est dit optimal adaptatif en vitesse de convergence(O.A.) sur la famille de classes {F β } β∈B pour la semi-distance d s’il vérifielim supn→∞sup R n,β ( ˆf n ,ψ n (β)) ≤ C,β∈Boù C > 0 est une constante. Un estimateur f ∗ n est dit asymptotiquement exact adaptatifsur la famille de classes {F β } β∈B pour la semi-distance d s’il existe des constantesC β > 0 telles quelim supn→∞β∈BR n,β (f ∗ n,C β ψ n (β)) = limn→∞infˆf nsup R n,β ( ˆf n ,C β ψ n (β)) = w(1),β∈Boù inf ˆfnreprésente l’infimum sur tous les estimateurs. On dit alors que C β est la constanteexacte adaptative associée à la vitesse de convergence ψ n (β).