THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

74 Optimal recovery et estimation statistique• Approximation en norme L ∞ .Un point intéressant est que le noyau K β n’est pas seulement optimal pour le problèmed’approximation de f en 0, mais il l’est aussi pour celui de l’approximation de la fonctionf en norme L ∞ . Supposons maintenant que V = L ∞ (R) et on pose ‖f‖ ∞ = sup x∈R |f(x)|.On a le résultat suivant.Proposition 5.5. Soit β > 0, L > 0 et ε > 0. On ainf̂Tsup ‖ ̂T − f‖ ∞ =f∈C(β,L)‖f−y‖ 2 ≤εsup ‖ ˆf − f‖ ∞ = E β (ε,L),f∈C(β,L)‖f−y‖ 2 ≤εoù l’infimum est pris sur tous les algorithmes ˆT et∫ ( )1 u − tˆf(t) =h K β y(u)du, t ∈ R,havec h = ( ) 2ε 2β+1et KLβ est donné dans la Proposition 5.4.RDémonstration. A partir des observations (5.1), on définit, pour t ∈ R,ỹ(u) = g(u) + z(u + t), u ∈ R,avec g(u) = f(u + t) et ỹ(u) = y(u + t). On a, par l’invariance par translation de la classeΣ(β,L) et de la norme L 2 , pour tout t ∈ R,sup ∣ ˆf(t) − f(t) ∣ = sup ∣ ˜f(0) − g(0) ∣ = E β (ε,L),f∈C(β,L)g∈C(β,L)‖f−y‖ 2 ≤ε‖g−ỹ‖ 2 ≤εoù ˜f(0) = ∫ 1K h β( u )ỹ(u)du. On en déduit que pour tout t ∈ R et pour toute fonctionhf ∈ C(β,L) telle que ‖f − y‖ 2 ≤ ε,∣ ˆf(t) − f(t) ∣ ≤ E β (ε,L),ce qui impliquesup ‖ ˆf − f‖ ∞ ≤ E β (ε,L).f∈C(β,L)‖f−y‖ 2 ≤εMaintenant, en utilisant que pour un algorithme quelconque ̂T , ∣ ̂T (0) − f(0) ∣ ≤ ∥ ̂T − f∥ ,∞en prenant le supremum sur les fonctions f ∈ C(β,L) telles que ‖f − y‖ 2 ≤ ε, puis enprenant l’infimum sur tous les algorithmes ˆT et en utilisant la définition de E(β,L), onobtient le résultat de la proposition.