THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

72 Optimal recovery et estimation statistiqueLa preuve de (i) appartient à Korostelev (1993) ou bien s’obtient à partir de la Proposition5.8 donnée au Paragraphe 5.2.2. La solution pour β = 2 est donnée dans Fuller(1960) (cf. aussi Leonov (1997), Lepski and Tsybakov (2000)).Ce qui précède permet d’évaluer l’erreur minimax. De plus, la solution f β de (P 1,1 (β))permet d’obtenir les algorithmes optimaux (cf. par exemple Donoho (1994a) ou Lepskiand Tsybakov (2000) pour une démonstration détaillée).Proposition 5.4. Soit β > 0. Si f β est la solution de (P 1,1 (β)) alors ∫ R f β(t)dt > 0 etˆT 1,β (y) = ∫ R K β(t)y(t)dt, avecK β (t) =f β (t)∫R f β(u)du ,est un algorithme optimal pour le problème d’approximation de f(0) avec ε = 1 et L = 1.Démonstration. Prouvons tout d’abord que ∫ R f β(t)dt > 0. On poseF 0 = {f ∈ C(β,1), f(0) = f β (0)} .Si f ∈ F 0 , alors nécessairement on a ∫ f 2 (t)dt ≥ ∫ ∫f 2 R R β (t)dt. En effet, si on avaitf 2 (t)dt < 1, alors f serait une solution de (PR 1,1 (β)) telle que ‖f‖ 2 < 1, ce qui estimpossible d’après le point (iii) de la Proposition 5.2. Soit u ∈]0,1] et f ∈ F 0 , alors, parconvexité de F 0 , uf + (1 − u)f β appartient à F 0 et donc(∫∫ )1(uf(t) + (1 − u)f β (t)) 2 dt − fuβ(t)dt2 ≥ 0. (5.5)RREn développant et en faisant tendre u vers 0 dans la relation (5.5), on déduit que, pourtout f ∈ F 0 ,∫∫f(t)f β (t)dt ≥ fβ(t)dt 2 = 1. (5.6)On poseRF 1 = {f ∈ Σ(β,1), f(0) = f β (0)} .Puisque f β est à support compact, si une fonction appartient à F 1 alors elle coïncide surle support de f β avec une fonction de F 0 . D’où pour tout f ∈ F 1 , on a∫∫f(t)f β (t)dt ≥ fβ(t)dt 2 = 1. (5.7)RLa fonction f, définie par f ≡ f β (0) appartient à F 1 , donc∫ ∫f β (0) f β (t)dt ≥ fβ(t)dt 2 = 1. (5.8)ROn déduit donc que ∫ R f β(t)dt > 0 puisque f β (0) > 0 d’après la Propososition 5.2.RRR