THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

84 Optimal recovery et estimation statistiqueOr, on aAinsi on aE β (˜ε,L) =infK∈L 2 (R)= infK∈L 2 (R)≤≤infK∈L 2 (R)h>0h>0infK∈L 2 (R)h>0supf∈Σ(β,L){sup{{{1∣f∈Σ(β,L)supf∈C(β,L)supf∈C(β,L)supf∈Σ(β,L)h β∫R∫1∣h∫∣R∫1∣h}K(t)f(t)dt − f(0)∣ + ˜ε‖K‖ 2R}K(t/h)f(t)dt − f(0)∣ + √ ˜ε ‖K‖ 2h∫1∣hR( )tK β f(t)dt − f(0) ∣h β= ˜ε 2β2β+1 L1− 2β2β+1 Eβ (1,1) = ψ n C 0 (β),R}K(t/h)f(t)dt − f(0)∣ + √ ˜ε ‖K‖ 2h∣ +˜ε √hβ‖K β ‖ 2 = E β (˜ε,L).} K(t/h)f(t)dt − f(0)∣ + √ ˜ε ‖K‖ 2 = E β (˜ε,L)hoù la dernière égalité est une conséquence de la Proposition 5.1. On en déduit le résultatde la proposition.La Proposition 5.13 implique qu’il faut prendre K = K β et h = h β pour minimiser lemembre de droite de (5.26) et laisse penser que l’estimateur ˆf Kβ ,h βest un estimateur ànoyau optimal. Par ailleurs la Proposition 5.13 implique la borne supérieure suivante:lim supn→∞infK∈L 2 (R)h>0R( ˆf K,h ) ≤ lim sup R( ˆf Kβ ,h β) ≤ w(C 0 (β)), (5.27)n→∞puisque, dans (5.26), δ peut être choisi arbitrairement petit. On peut démontrer la borneinférieure suivante:lim inf R( ˆθ n ) ≥ w (C 0 (β)) , (5.28)ε→0 θˆnoù inf ˆθndésigne cette fois l’infimum sur tous les estimateurs (cf. aussi Donoho (1994a)).Ceci se fait en utilisant le même type de démonstration de borne inférieure qu’aux Chapitres2 et 3 en faisant la réduction à une sous-classe de fonctions construites à partir def β (cf. Remarque dans les préliminaires du Paragraphe 2.3.2 ). Ainsi ˆfKβ ,h βest asymptotiquementexact parmi tous les estimateurs et optimal parmi les estimateurs à noyau.De plus, on obtient que la constante exacte C 0 (β) et l’estimateur ˆf Kβ ,h βdépendent de lafonction f β .Pour 0 < β ≤ 1, en utilisant la valeur de E β (1,1) obtenue dans la Proposition 5.3, ontrouve une valeur explicite de C 0 (β)( ( ) ) 1β 2β+1β + 1C 0 (β) = L,2β 2