THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

5.3. Lien entre l’optimal recovery et l’estimation statistique en norme L ∞ 83Puisque la vitesse de convergence minimax sur Σ(β,L) est atteinte par des estimateurs ànoyau de pas d’estimation h de l’ordre τ n = ψ 1 βn , il suffit de prendre, dans la relation (5.25)l’infimum sur les h de cet ordre. Soit K ∈ L 2 (R) et h de l’ordre de τ n . Soit 0 < δ < 1/2.En raisonnant comme dans les démonstrations de bornes supérieures des Chapitres 2 et3 et en utilisant les Propositions 5.11 et 5.12, on a que, quand n → ∞,( {R( ˆf (1 + δ)K,h ) ≤ wsupψ n∣ f(0) − 1 ∫ ( t K f(t)dth h)∣ + √ 1√ })‖K‖ 2 2 log 1 +o(1).nh h√2f∈Σ(β,L)√La quantité log 1 est alors de l’ordre de n halors que, quand n → ∞,( {R( ˆf (1 + δ)K,h ) ≤ wsupψ n∣ f(0) − 1 ∫hf∈Σ(β,L)R22β+1Rlog nnOn a la proposition suivante.Proposition 5.13. Soit β > 0 et L > 0. On a{inf supK∈L 2 (R)∣ f(0) − 1 ∫K(t/h)f(t)dtf∈Σ(β,L) h∣ +Rh>0= sup∣ f(0) − 1 ∫K β (t/h β )f(t)dth β∣ +f∈Σ(β,L)R. Posons ˜ε = √22β+1log n, on obtientn( })t K f(t)dth)∣ + √ ˜ε ‖K‖ 2 + o(1).h}√ ˜ε ‖K‖ 2hoù h β = (˜ε/L) 2/(2β+1) , K β est défini dans la Proposition 5.4 et( ) βC 0 (β) = L 12β+122β+1Eβ (1,1).2β + 1˜ε √hβ‖K β ‖ 2 = E β (˜ε,L) = C 0 (β)ψ n ,(5.26)Démonstration. D’après le Paragraphe 5.2, l’algorithme ˆT˜ε,β (y) = 1h β∫R K β(t/h β )y(t)dt,où h β = (˜ε/L) 2/(2β+1) et K β est le noyau défini dans la Proposition 5.4, est un algorithmeoptimal pour le problème d’approximation de la fonctionnelle f(0) dans le modèle (5.1)avec ε = ˜ε. Donc, d’après le Théorème 5.3, on aE β (˜ε,L) =supf∈C(β,L)1∣h β∫R( )tK β f(t)dt − f(0) ∣h β∣ +˜ε √hβ‖K β ‖ 2 .Si une fonction appartient à Σ(β,L), alors elle coïncide sur le support de K β (·/h β ) et en0 avec une fonction de C(β,L), donc( )E β (˜ε,L) = sup1 t∣ K β f(t)dt − f(0)h β∣ + √ ˜ε ‖K β ‖ 2 .hβf∈Σ(β,L)h β∫R