THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

5.1. Cadre général de l’optimal recovery et principaux résultats 67bakov (2004)). Klemelä (2003) étudie le lien entre des résultats d’O.R. et l’estimation dela dérivée partielle en un point fixé d’une fonction appartenant à un espace de Sobolev,dans un modèle de bruit blanc Gaussien et un modèle de régression.Nous allons plus particulièrement développer dans ce chapitre l’application de l’O.R.à l’estimation en norme L ∞ de fonctions Hölderiennes. On présentera dans un premiertemps le cadre général de l’O.R. avec un bruit déterministe (Paragraphe 5.1). Dans leParagraphe 5.2, on développera un exemple de problème d’O.R.: l’approximation d’unefonction Hölderienne. Nous utiliserons cet exemple pour obtenir des résultats d’estimationstatistique en norme L ∞ dans le Paragraphe 5.3. Le Paragraphe 5.4 présente quelquesrésultats numériques.5.1 Cadre général de l’optimal recovery et principauxrésultatsLe cadre général de l’O.R. est décrit par exemple dans les articles de synthèse deMicchelli et Rivlin (1977) et d’Arestov (1989) (voir aussi Stechkin (1968) et Gabushin(1970)). Les résultats de ce paragraphe sont présentés dans les articles précédemmentcités.On considère X un espace vectoriel et (Y,‖ · ‖ Y ) et (V,‖ · ‖ V ) deux espaces vectorielsnormés. On suppose que C est un sous-ensemble de X et U un opérateur linéaire U : C →V . On suppose que l’on observe y ∈ Y qui vérifiey = If + εz,où ε ≥ 0, z ∈ S, S = {y ∈ Y : ‖y‖ Y ≤ 1}, I : C → Y et f est un élément inconnu de C.Le but de l’O.R. est d’approcher Uf pour f ∈ C à l’aide d’un algorithme. Un algorithmeˆT est une applicationˆT : IC + εS −→ V.On mesure la qualité d’un algorithme ˆT par l’erreurDéfinition 5.1. La quantitéE( ˆT ,ε,C) = sup ‖Uf − ˆT (y)‖ V .f∈C‖If−y‖ Y ≤εE(ε,C) = infˆTE( ˆT ,ε,C),où l’infimum est pris sur tous les algorithmes, est appelé erreur minimax du problèmed’O.R. Un algorithme ˆT qui vérifie E( ˆT ,ε,C) = E(ε,C) est appelé algorithme optimal.