THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

1.2. Principaux résultats 15où K˜βest défini par (1.8) et⎧⎪⎨h j (β) =⎪⎩pour j ∈ {1, . . . ,d} et D > 0.C 1/˜βad( log nn( log n) 1n) 1− 12 ˜β+1 L ˜β+1j˜L1˜βsi β j = ˜β,2 ˜β+1 (log n) D si β j ≠ ˜β.Ces deux théorèmes donnent la vitesse de convergence minimax pour l’estimation ennorme L ∞ sur les classes de Hölder Σ ani (β,L) pour β ∈]0,1] d et Σ ad (β,L) pour ˜β ∈]0,1], cequi n’avait pas été fait précisément dans les cadres considérés. De plus, ils donnent de façonexplicite l’asymptotique exacte (constante exacte et estimateur asymptotiquement exact).La vitesse de convergence est donc meilleure et n’est pas influencée par la dimension sif ∈ Σ ad (β,L). Cette différence apparaît plus clairement dans le cas isotrope (ie. β 1 = β 2 =· · · = β d b) puisqu’on a ψ n (β) = ( )log n b/(2b+d)n et ˜ψn (β) = ( )log n b/(2b+1).n La vitesse ˜ψn (β)correspond à la vitesse d’estimation sur une classe hölderienne de régularité b. Dans le casde l’estimation en norme L ∞ sur Σ ad (β,L), la vitesse de convergence dépend uniquementde β via ˜β et c’est aussi le cas de la constante exacte C ad .La démonstration des trois théorèmes précédents se fait classiquement en deux étapes:la borne supérieure qui consiste à trouver un estimateur fn ∗ tel que( )]‖f − f∗lim sup sup E f[wn ‖ ∞≤ w(C F ),n→∞ψ n (F)f∈Fet la borne inférieure qui consiste à montrer que(lim infn→∞infˆθ nsup E f[wf∈F‖f − ˆθ n ‖ ∞ψ n (F))]≥ w(C F ), (1.10)où F est la classe de fonctions considérée (ici Σ(β,L,Q), Σ ad (β,L) et Σ ani (β,L)), C F > 0,ψ n (F) est une suite qui tend vers 0 et l’infimum est pris sur tous les estimateurs ˆθ n .Montrer ces deux relations permet de prouver que ψ n (F) est la vitesse de convergence surF, que C F est la constante exacte et que f ∗ n est un estimateur asymptotiquement exactpour l’estimation en norme L ∞ sur la classe F.Pour prouver la borne inférieure de chacun de ces trois théorèmes, nous utilisons desméthodes développées par Tsybakov (2004) et des techniques de minoration du risqueminimax par le risque bayesien, que Pinsker (1980) avait utilisé pour obtenir son résultatd’estimation exacte en norme L 2 . Dans chacune des démonstrations de borne inférieure,nous adoptons le schéma suivant.(1) Réduction aux bornes en probabilité. Pour f ∈ F et ˆf n un estimateur, on a d’aprèsl’inégalité de Markov et puisque w est croissante(‖f −E f[wˆf)]n ‖ ∞≥ w(C F (1 − ε))P f[‖f −ψ n (F)ˆθ]n ‖ ∞ ≥ C F ψ n (F)(1 − ε) ,