THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

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4.4. Lower bound 65is a Gaussian random variable with mean θ j and variance equal tov 2 n = 2˜β + 12 log n .Proof. (i) The result (i) comes from the fact the functions g j belong to Σ ad (β, L) andhave disjoint supports.(ii) Since the functions g j have disjoint supports, we have f(a j , θ) = θ j g j (a j ) andg j (a j ) = C adψ n˜L∑L i L − ˜β˜β+1i = C ad ψ n .(iii) Since the functions g j have disjoint supports, the statistic y j is equal to :y j = θ j + √ σ ∫gR d j (t)dW tn g∫R 2 d j (t)dt .i∈ΛSince (W t ) is a standard Brownian sheet, y j is Gaussian with mean θ j and varianceWe have:∫V ar (y j ) =R d g 2 j (t)dt = ∑ i∈Λσ 2n ∫ R d g 2 j (t)dt.h 2˜β+1i L 2 i∫ 10( ) 21 − |t|˜βdt.+Since ∫ ( ) 214˜β1 − |t|˜β dt =2and using the value of h 0+ (2˜β+1)(˜β+1)i and C ad we deducethat2∫˜β+1gj 2 (t)dt = C ˜βadlog n 4˜β 2 ∑LR d (2˜β + 1)(˜β + 1)n˜L 2 ˜β+1˜β= 2σ2 log nn(2˜β + 1)i∈Λ12 ˜β+1iFinally using Proposition 4.3 and following the same lines as the proof of the lowerbound in Section 3.4, it is easy to obtain the result (4.9).
66 Optimal recovery et estimation statistiqueChapitre 5Optimal recovery et estimationstatistiqueDans un problème d’optimal recovery (O.R.), le but est d’approcher un signal ou desfonctions de ce signal à partir d’observations associées à un bruit déterministe. Il existeun grand nombre de travaux concernant ces problèmes (voir Stechkin (1968), Gabushin(1970), Micchelli et Rivlin (1977), Arestov (1989)) dans lesquels est étudiée l’approximationd’opérateurs linéaires ou de fonctionnelles linéaires. Il existe un lien entre certains problèmesd’O.R. et certains problèmes d’estimation statistique. La résolution d’un problèmed’O.R. peut permettre par exemple de trouver des vitesses de convergence, des constantesminimax exactes ou des estimateurs asymptotiquement exacts dans un problème d’estimationstatistique. Le concept d’O.R. est utilisé pour l’estimation de fonctionnelles linéaires:Donoho et Low (1992) ont montré que la vitesse de convergence minimax dépendait dumodule de continuité; Donoho et Liu (1991) et Donoho (1994b) ont mis en évidence lelien entre des algorithmes optimaux d’O.R. et les estimateurs minimax linéaires. Donoho(1994a) s’est intéressé à l’estimation en norme L ∞ d’une fonction Hölderienne et autilisé des outils d’O.R. pour trouver des estimateurs asymptotiquement exacts. Korostelev(1996) a montré comment étaient obtenus des estimateurs asymptotiquement exactsà partir de résultats d’O.R., dans un problème d’estimation de fonctions Hölderiennespour le risque en grande déviation associé à la norme L ∞ . Leonov (1997,1999) a prouvécertaines propriétés de solutions d’un problème d’O.R. qui permettent d’obtenir des résultatsd’estimation statistique de fonctions hölderiennes. De nombreux travaux utilisentle concept d’O.R.: Tsybakov (1998) l’a fait pour le problème d’estimation adaptative ennorme L ∞ et en un point fixé sur des boules de Sobolev; Korostelev et Nussbaum (1999)en ont déduit la constante exacte et un estimateur asymptotiquement exact dans le modèlede densité sur des classes hölderiennes; Lepski et Tsybakov (2000) l’ont utilisé pourl’étude des tests d’hypothèses asymptotiquement exacts. Pour l’estimation adaptative defonctionnelles linéaires, Klemelä et Tsybakov (2001) ont construit un estimateur adaptatifasymptotiquement exact en utilisant la méthode de Lepski appliquée à une familled’estimateurs obtenus par recalibration d’algorithme d’O.R. (voir aussi Klemelä et Tsy-
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