THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

5.2. Application au problème d’approximation d’une fonction Hölderienne 73Montrons maintenant que ˆT 1,β est un algorithme optimal. Ceci est une conséquencedu Théorème 5.3 et des deux propriétés suivantes‖K β ‖ 2 = ˆT 1,β (f β ) (5.9)∣max ∣f(0) − ˆT ∣1,β (f) ∣ = max ∣f(0) − ˆT 1,β (f) ∣ = f β (0) − ˆT 1,β (f β ) (5.10)f∈Σ(β,1)f∈C(β,1)La relation (5.9) vient du fait que ‖f β ‖ 2 = 1. En effet, on a∫ˆT 1,β (f β ) = ∫ f 2 R β (t)dtf R β(t)dt = 1∫R f β(t)dt = ‖K β‖ 2 .Prouvons (5.10). Soit f ∈ Σ(β,1). La fonction g définie, pour t ∈ R, par g(t) = f β (0) −f(t) + f(0), appartient à F 1 . En appliquant (5.7), on obtient que ∫ f R β(t)g(t)dt ≥ 1 etdonc∫∫f β (t)(f(t) − f(0))dt ≤ f β (0) f β (t)dt − 1.RDe même, la fonction h(·) = f β (0) + f(·) − f(0) appartient à F 1 et donc (5.7) impliqueque∫∫f β (t)(f(t) − f(0))dt ≥ 1 − f β (0) f β (t)dt.RRPuisque f β (0) ∫ f R β(t)dt − 1 ≥ 0 d’après (5.8), on a que∫∫sup∣ f β (t)(f(t) − f(0))dt∣ ≤ f β(0)f∈Σ(β,1)RRRf β (t)dt − 1. (5.11)La fonction f(·) = (f β (0)−f β (·)) appartient à Σ(β,1) et vérifie ∣ ∣ ∫ R f β(t)(f(t) − f(0))dt ∣ ∣ =f β (0) ∫ R f β(t)dt − 1, donc on a finalementsupf∈Σ(β,1)∫f R β(t)(f(t) − f(0))dt∣∫f R β(t)dt ∣ =supf∈Σ(β,1)= supf∈C(β,1)la dernière égalité venant du fait que f β ∈ C(β,1) ⊂ Σ(β,1).∣∣f(0) − ˆT 1,β (f) ∣ = f β (0) − ˆT 1,β (f β )∣∣f(0) − ˆT 1,β (f) ∣ ,Problème d’approximation de f(0) pour ε et L quelconques.On connait en fonction de f β la solution du problème (erreur minimax et algorithme optimal)pour ε = 1 et L = 1 grâce aux Propositions 5.3 et 5.4. Il suffit donc d’utiliserla Proposition 5.1 pour trouver, en fonction de f β , l’erreur minimax du problème et unalgoritme optimal pour ε > 0 et L > 0 quelconques.