THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

86 Optimal recovery et estimation statistiqueà adapter la méthode utilisée par Lepski et Tsybakov (2000) au cas multidimensionnel.Ces auteurs considèrent un problème d’optimisation du typesup f(0),f∈Σ(β,1)∫ D−D f 2 ≤1qui admet une solution f β,D . Ils construisent, dans le modèle (5.24), des tests asymptotiquementminimax ˆT n à partir f β,Dn I [−Dn ,D n ] (qui est à support compact) avec lim n→∞ D n =∞.On a mis en évidence, comment on a choisi dans les chapitres précédents les noyaux desestimateurs utilisés pour obtenir des résultats de bornes supérieures. L’approche qu’ona adopté ici pour l’estimation en norme L ∞ de fonctions Hölderiennes peut être utiliséepour l’estimation en norme L ∞ sur d’autres classes de fonctions.5.4 Etudes des constantes• Etude de la constante C 0 (β) =(L( ) ) 1β 2β+1β+12β pour β ∈]0,1].2Pour β ∈]0,1], on a L 12β+1≤ max (1,L). Le graphique suivant représente la valeur de( ) ββ+1 2β+1f(β) =en fonction de β ∈]0,1].2β 2f(beta)2.01.91.81.71.61.51.41.31.21.11.00.90.80.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0betaLa fonction f(β) est toujours comprise entre 1 et 1.5 et admet 1 comme limite en 0.• Etude de la constante C 0 (β) =Pour β ∈]0,1] 2 , on a L12β+1∗( ) ) 1β 2β+1β+1(L ∗ pour β ∈]0,1] 2 .αβ 3≤ max (1,L 1 ,L 2 ), où L = (L 1 ,L 2 ). Le graphique suivant repré-