THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

1.2. Principaux résultats 19L > 0 connu. Il s’est donné une famille d’estimateurs à noyau ( ˆf β ) β∈B , où pour β ∈ B, ˆf βa un pas d’estimation h(β) de l’ordre de ( )log n 1/(2β+1)n et Kβ comme noyau. L’estimateurˆf β est optimal en vitesse de convergence sur Σ(β,L) pour β ∈ B. La méthode de Lepski(1992) consiste à choisir ˆβ le plus grand β ∈ B tel que ‖ ˆf β − ˆf γ ‖ ∞ ≤ cψ n (γ) pour toutγ ≤ β et à obtenir comme estimateur asymptotiquement exact adaptatif ˆf ˆβen choisissantjudicieusement la constante c > 0 et le pas des estimateurs ˆf β . Ce choix est basé sur lefait que, pour f ∈ Σ(λ,L) et γ ≤ β ≤ λ, le biais de ˆf β − ˆf γ est borné en valeur absolue parun terme d’ordre max{h λ (β),h λ (γ)} qui est lui-même borné par un terme d’ordre ψ n (γ).Pour l’estimation en norme L ∞ sur des classes de Hölder Σ ani (β,L) avec β ⊂]0,1] d et Bun ensemble fini, la méthode de Lepski (1992) fonctionne bien si B vérifie les conditions(H 1 ) et (H 2 ). L’estimateur f ∗ n du Théorème 1.4 est construit à partir de cette méthodeet c’est le choix de la constante c et des estimateurs ˆf β qui permet d’avoir un résultatd’asymptotique exacte.Quand B ne vérifie pas (H 2 ), on ne peut en général contrôler le biais de ˆf β − ˆf γ pourβ,γ ∈ B. Kerkyacharian et al. (2001) généralise la méthode de Lepski dans le cas del’estimation sur des boules de Besov et donnent un nouveau critère pour sélectionner unerégularité ˆβ. Ils considèrent l’ordre suivant sur B:γ = (γ 1 , . . . ,γ d ) ≤ β = (β 1 , . . . ,β d ) ssi γ ≤ β, (1.18)et ont à leur disposition une famille d’estimateurs à noyau ( ˆf β ) β∈B de noyau K et defenêtre d’estimation h(β) = (h 1 (β), . . . ,h d (β)). La fonction K est une fonction bornéeà support compact d’intégrale 1, et pour i ∈ {1, . . . ,d}, λ = (λ 1 , . . . ,λ d ) ∈ B h i (λ)λest d’ordre n − λ i (2λ+1). Dans cette nouvelle méthode, qu’on appelle “méthode de Lepskigénéralisée”, plutôt que de comparer ˆf β à ˆf γ pour γ ≤ β, ils comparent ˆf γ à l’estimateurà noyau ˆf β,γ de noyau K et de fenêtre d’estimation h(β,γ) = (h 1 (β,γ), . . . ,h d (β,γ)) oùh i (β,γ) = max(h i (γ),h i (β)). Leur méthode consiste à sélectionner ˆβ, le plus grand β ∈ B(par rapport à l’ordre défini en 1.18) tel que ‖ ˆf β,γ − ˆf γ ‖ ∞ ≤ cn − γ2γ+1 pour tout γ ≤ β. Cechoix est basé sur le fait que si f ∈ Σ(β,L), alors pour tout γ ≤ β, le biais de ˆf β,γ − ˆf γ estborné en valeur absolue par un terme d’ordre τ n = max i=1,...,d | max(h i (γ),h i (β))−h i (γ)| β i.Or τ n est d’ordre max i=1,...,d |h i (β)| β i, donc d’ordre n − 2β+1 ≤ n− γ2γ+1 . Nous appliquons cetype de méthode pour construire ˜f ani en modifiant l’estimateur de comparaison ˆf β,γ eten choisissant une famille d’estimateurs ˆf β de façon à obtenir la plus petite constantepossible pour M 2 (β) dans (1.15). La méthode de construction de ˜f ani2 est légèrementdifférente de celle de ˜f ani car deux critères interviennent dans la sélection de la régularitéˆβ (cf. §6.2.5), ceci pour permettre d’obtenir les relations (1.16) et (1.17) et la plus petiteconstante possible pour M 3 (β).β