Wave Propagation in Linear Media | re-examined

Kurzfassung
Seit der Entdeckung des quantenmechanischen Tunnele ektes haben Physiker daruber diskutiert,
wie lange ein Partikel braucht, um eine Barriere zu uberwinden, und ob diese Geschwindigkeit
jene des Lichts ubersteigen kann. Neue Nahrung erhielt die Debatte in den letzten
Jahren durch die Einbeziehung von evaneszenten elektromagnetischen Wellen, die mit tunnelnden
Teilchen formal verwandt und dank der gro eren Zeitkonstanten Messungen leichter
zuganglich sind. Die durchgefuhrten Experimente schienen tatsachlich " superluminale\ Wellenausbreitung
zu bestatigen und losten eine heftige Kontroverse aus. Dabei zeigte sich, da
der Begri der Wellenausbreitung keineswegs klar und einheitlich ist, was eine eingehendere
Untersuchung sinnvoll erscheinen la t.
Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen, deren erster in einem kurzen historischen
Abri die gangigsten Geschwindigkeitsbegri e prasentiert, namlich die Phasen-, Gruppen-,
Signal- und Energiegeschwindigkeit. Im Anschlu daran wird in einer Reihe von eindimensionalen
Fallstudien das Verhalten von Wellen in linearen und dispersiven Medien untersucht.
Darunter fallen elektromagnetische Ubertragungsleitungen, Hohlleiter und ein verlustfreies
Plasma sowie die klassischen Stufen- und Rechteckbarrieren der Quantenmechanik. Dazu werden
jeweils zunachst die entsprechenden Di erentialgleichungen fur monochromatische Wellen
gelost. Allgemeinere Losungen konnen dann mittels Fourierintegralen konstruiert werden. Im
elektromagnetischen Fall zeigt sich, da ein Signalsprung sich stets exakt mit Lichtgeschwindigkeit
fortbewegt. Allerdings ist eine derartige Wellenfront immer breitbandig, wohingegen
die Spektren von Tunnelmoden auf den Bereich unterhalb der Grenzfrequenz beschrankt sein
sollten. Diese Forderung resultiert in glatten, gaussformigen Signalen, deren Maximum oft
als Ma fur Ausbreitungsgeschwindigkeit genommen wird. Obwohl diese De nition jener der
Gruppengeschwindigkeit entspricht, ist sie im Hinblick auf die Bestimmung von Tunnelzeiten
problematisch, da die Barriere als Hochpa lter wirkt und die Maxima von einfallender und
transmittierter Welle in keiner Beziehung zueinander stehen.
Der zweite Teil der Arbeit beschaftigt sich mit der numerischen Auswertung von Fourierintegralen
im Zusammenhang mit dispersiver Wellenausbreitung. Die Quadratur solcher Integrale
wird durch den unbeschrankten Integrationsbereich und den stark oszillierenden Integranden
sehr muhsam. Obwohl es Losungsansatze fur dieses Problem gab, ist keine fertige Software
verfugbar, weshalb eine spezialisierte Quadraturroutine auf Basis des modernen Softwarepakets
Mathematica entwickelt wurde. Dabei wird das Integrationsintervall an den Nullstellen
des Integranden zerlegt und eine Partialsummenfolge aufgestellt, deren Grenzwert durch
Extrapolation bestimmt wird. Die Funktion der Quadraturroutine wird anhand bekannter
Testprobleme veri ziert, und abschlie end wird beispielhaft ihre Anwendung auf das Problem
der Partikelstreuung an einem Stufenpotential gezeigt.
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