Perspectivas en las teorias de sistemas

Los sistemas formales
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4. Cualquier otra proposición de la teoría se demuestra a partir
de los axiomas. A tales proposiciones se les llama teoremas.
El procedimiento consiste esencialmente en aislar los conceptos y
las proposiciones fundamentales de los cuales se sigue todo lo demás,
y vale considerar a los términos iniciales como datos intuitivos y a
los axiomas como evidencias. Esta separación introduce un orden
entre las proposiciones de la teoría en el que se procede de lo más
conocido a lo menos conocido, siguiendo la senda de la lógica natural
(lógica del discurso natural). Esto último significa que las formas
de deducción sobre las que se apoya el razonamiento son las de la
argumentación ordinaria.
La forma dada por Euclides a la geometría fue, por mucho tiempo,
modelo insuperable de teoría deductiva. Sus teoremas estaban ligados
a los postulados mediante una relación de aparente necesidad lógica y,
hasta el siglo pasado, se creía que eran verdades universales igualmente
necesarias acerca del espacio físico. En este sentido, el papel de la demostración
sería el de propagar la verdad de los postulados a los teoremas.
Esta visión de los postulados, como principios ciertos más allá de
los cuales no se intenta ir, fue abandonada en el siglo xix. La aparición
de otras geometrías además de la euclidiana obligó a entender
las teorías matemáticas de un modo radicalmente distinto. A los ojos
de la mayoría de los matemáticos, los enunciados de la matemática
dejaron de ser verdades de hecho, un informe sobre las cosas, y pasaron
a ser simplemente “piezas” de un sistema lógico, afirmaciones
cuya verdad es relativa a los principios de los que se infieren. A su
vez, los axiomas dejaron de ser verdades incuestionables de las que
nadie podía dudar, y se convirtieron en simples hipótesis desprovistas
de todo significado. Este cambio no habría sucedido sin el desplazamiento
de la intuición como sostén de la evidencia de los axiomas. 4
A ello contribuyó también la aparición, poco después, del álgebra
abstracta, que no sólo estimuló el desarrollo de la hoy llamada
matemática moderna, sino que obligó a un examen más profundo,
y con ello al refinamiento, del método axiomático. Ésta fue la vía
4
Por ejemplo, en la geometría euclidiana la cuestión de si dos puntos determinan
una línea recta está zanjada por los postulados 1 y 2: “Trazar una línea recta
desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera” y “Prolongar por continuidad
en línea recta una recta delimitada”, cuya verdad está garantizada por el significado
de los términos ‘punto’, ‘línea recta’, entre otros, que en ellos intervienen y,
supuestamente, por la intuición geométrica.