Perspectivas en las teorias de sistemas

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Carlos Torres Alcaraz
segundo lenguaje se nombra metalenguaje en relación con el primero.
En matemáticas, lo habitual es considerar como metalenguaje al
lenguaje usual (junto con algunos símbolos matemáticos).
De igual manera, para estudiar los sistemas formales es necesario
llevar a cabo demostraciones en el metalenguaje (es decir, en
el ámbito de la matemática informal) con las que se establecen sus
propiedades. Los resultados obtenidos al investigar las propiedades
de un sistema formal se denominan metateoremas, para distinguirlos
así en los teoremas que se hallan dentro de éste. Los metateoremas
enuncian propiedades del sistema o de sus componentes en tanto
que objetos de estudio.
A su vez, las propiedades del sistema se pueden estudiar en dos
niveles: en el sintáctico y en el semántico. Podemos, por ejemplo,
investigar si cierta fórmula es teorema de un sistema formal examinando
las características formales de sus pruebas. Estaremos entonces
investigando las propiedades sintácticas del sistema. También podemos
examinar las características de los modelos de un sistema, en cuyo
caso estaremos realizando una investigación de orden semántico.
Esta división no es lo tajante que pudiera parecer a primera vista,
pudiéndose en ocasiones determinar algunas propiedades sintácticas
por medios semánticos y viceversa. Lo que sí es cierto, es que induce
una duplicación de conceptos en ocasiones vinculados entre sí. Por
ejemplo, se tienen los conceptos de completud sintáctica y completud
semántica de un sistema, dependiendo del tipo de consideraciones
a que haya lugar.
Entre las propiedades de los sistemas formales, las más importantes
son las siguientes: consistencia (sintáctica y semántica), completud
o saturación (sintáctica y semántica), decidibilidad (sintáctica) y
categoricidad (semántica).
De éstas, la decidibilidad es una propiedad inédita en relación
con la axiomática formal, y la completud ostenta nuevos matices. La
siguiente es una breve relación de las mismas.
Consistencia sintáctica. Un sistema es consistente si no toda fórmula
es derivable en él. Cuando el sistema tiene un operador de negación
y la lógica admitida es la lógica clásica (basada en la ley del tercero
excluido y en la ley de no contradicción), esta noción es equivalente
a la enunciada en relación con las teorías axiomáticas.
Consistencia semántica. Un sistema es consistente si tiene un modelo.