Perspectivas en las teorias de sistemas

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Carlos Torres Alcaraz
del teorema de Gödel, la situación es la opuesta. En efecto, si acabar
un sistema significa probar su consistencia, es imposible contentarse
con las suposiciones que en él se hacen, pues es necesario hacer la
siguiente presuposición, aquella que nos permita probar su consistencia.
Por tanto, siguiendo con nuestra metáfora, la pirámide ha de ser
invertida: para consolidar un piso, es necesario construir el siguiente
(para asegurar un sistema es necesario acabar el sistema que formaliza
la prueba de su consistencia). En tal caso, la base de la pirámide se
encuentra suspendida en la cúspide, una cúspide inconclusa por sí
misma, y que debe ser elevada sin cesar. A fin de cuentas, si fundamentar
las matemáticas, como Hilbert pretende, consiste en probar
la coherencia de sus principales teorías, la matemática se fundamenta
en la nada. Y eso es un resultado de innegable valor epistemológico.
Como se ve, la matematización de ciertos problemas epistemológicos
llevó a resultados irrebatibles que, decíamos, no se preveían en
absoluto a comienzos del siglo xx. Se trata de los teoremas limitativos,
que imponen un límite a la capacidad de formalización y expresión
de los sistemas formales.
Conclusión
La formalización de una teoría matemática no tiene la finalidad de
escribir sus teoremas de manera rigurosa, o de escribirlos en forma
concisa en una especie de ideografía matemática. Más bien, el propósito
es examinar sus posibilidades y alcances y extraer conclusiones de
carácter general, mirándola como un todo organizado deductivamente.
Desde este punto de vista, la formalización convierte a toda teoría
matemática en un objeto de investigación matemática. Con ello, las
matemáticas se apropian en parte de la reflexión filosófica en torno
a sí mismas, obligándola a abandonar el campo de la especulación,
para así investigar los problemas teóricos a que dan lugar sus teorías 18
y fijar límites a su poder de representación.
En este sentido, las deficiencias señaladas por los llamados teoremas
limitativos pusieron fin a algunos de los viejos sueños de la razón,
y esto de manera irrebatible. Ya no podemos imaginar una razón
matemática autovalidativa y encerrada en sí misma, sin saber que
esto no es más que una elucubración fantástica alejada de la verdad.
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Como hemos visto, estos problemas son los de su consistencia, completud y
decibilidad.