Perspectivas en las teorias de sistemas

Los sistemas formales
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En un célebre manuscrito, llega incluso a profetizar que, una vez
elaborado ese lenguaje, los hombres que deseasen zanjar cualquier
controversia sólo tendrían que tomar el lápiz y decir: ¡calculemos!
(Leibniz [196?]: 200).
El sueño leibniciano debió aguardar más de doscientos años para
al menos encontrar un lenguaje capaz de reflejar la estructura lógica
de las proposiciones. Couturat, ya en el siglo xx, sostiene, entusiasmado,
que el simbolismo lógico debe ser un algoritmo que permita
extraer de los primeros datos (los axiomas) todas las conclusiones
lógicas que contengan; esto por medio de reglas de transformación
de fórmulas análogas a las del álgebra. Clama, en otras palabras,
por un simbolismo que permita remplazar el razonamiento por el
cálculo. Por su parte, Hilbert ve en los sistemas formales un medio
para decidir si son resolubles los problemas matemáticos expresables
en ellos (a través de pruebas de consistencia).
Church, más sensible a las condiciones del problema, juzga imposible
tal acontecimiento. Con su teorema demuestra que ningún algoritmo
o procedimiento mecánico podrá haber que nos permita distinguir
las fórmulas que son válidas de las que no lo son. La idea misma era
descabellada: un procedimiento de tal índole permitiría conocer la
verdad (relativa a los axiomas) de todo enunciado matemático que
se pudiese expresar en el sistema. Permitiría, por ejemplo, decidir la
verdad de la Conjetura de Goldbach o de la hipótesis de Riemann
con sólo tener a la mano una máquina computadora suficientemente
poderosa como para llevar a cabo la ejecución del algoritmo. 16 En
este sentido, lo que el teorema de Church nos dice es, simplemente,
que dicho procedimiento no existe, que en el cálculo de predicados
y varias de sus extensiones no se puede decidir algorítmicamente
cuáles fórmulas son derivables y cuáles no.
Teorema de Gödel. En la demostración de su primer teorema de
incompletud, Gödel utiliza un ingenioso procedimiento que permite
construir enunciados aritméticos que expresan proposiciones
metateóricas. Un procedimiento semejante ya había sido previsto
por Leibniz, aunque en forma inacabada y en un contexto diferente.
16
La hipótesis de Riemann vendría a ser al análisis clásico lo que la conjetura
de Fermat a la teoría de los números: una conjetura no demostrada que habría de
servir como impulsora de la teoría. Se trata de una función de números complejos
denotada por ζ () de la que Riemann afirma que todos sus ceros imaginarios tienen
como parte real al número ½ . A más de un siglo, la conjetura sigue sin ser resuelta.