Perspectivas en las teorias de sistemas

Los sistemas formales
47
Sintaxis y semántica
En relación con un sistema formal hay dos tipos de consideraciones:
las sintácticas y las semánticas.
La sintaxis de un sistema trata de las combinaciones y ordenaciones
posibles de sus símbolos, sin hacer referencia al significado
que éstos o sus combinaciones puedan tener. Una preocupación
central del análisis sintáctico de un sistema formal es determinar sus
posibilidades deductivas, es decir, distinguir la clase de sus teoremas.
Los problemas abordados por la semántica son, a su vez, de dos
tipos: los relativos a la noción de verdad y los relativos a las posibilidades
expresivas de un sistema. En ambos casos, los sistemas formales
se consideran en relación con algo externo: en matemáticas, ese “algo”
son las teorías axiomáticas que quedan formalizadas por ellos.
En este sentido, formalizar una teoría consiste en construir un
sistema formal del que la teoría sea una interpretación verdadera,
es decir, una interpretación en la que cada fórmula derivable en el
sistema corresponda a un enunciado verdadero de la teoría. Esta
idea presupone la posibilidad de establecer una correspondencia
entre las fórmulas del sistema y los enunciados de la teoría. En este
sentido, las principales teorías de la matemática contemporánea han
recibido formalización, a veces de distintas maneras. Nosotros nos
limitaremos a hacer referencia a la aritmética de los números naturales,
aunque algunos resultados relativos a ésta afectan también a
la teoría de conjuntos y, por ende, a diversas teorías que pueden ser
reconstruidas en el interior de esta última.
Un hecho sobresaliente es que las propiedades sintácticas y semánticas
de los sistemas formales están relacionadas entre sí, pudiéndose
en ocasiones enunciar de manera semántica lo que se considera una
propiedad sintáctica, y viceversa, tal como lo veremos en relación
con el primer teorema de incompletud de Gödel.
Teoría y metateoría
El estudio de los sistemas formales envuelve dos niveles lingüísticos
y dos niveles de demostración. Por una parte, se tiene el lenguaje
formal (es decir, el lenguaje simbólico propio del sistema) y, por otra,
el lenguaje con el que se describe su estructura y propiedades. Este