Perspectivas en las teorias de sistemas

Los sistemas formales
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punto, recta y plano por mesa, silla y tarro de cerveza sin cambiar en
nada la estructura formal de la geometría (v. gr., el primer postulado
de Euclides sería trazar una mesa de una silla a otra). ¿Es que acaso
en la axiomática formal ya no se hace referencia a ningún orden de
significados ajeno al sistema? ¿Es que la intuición ha sido desterrada
del desarrollo de las teorías axiomáticas? La respuesta a una y otra
pregunta es la misma: la supresión del significado de los términos
primitivos no elimina del todo la intuición; ésta persiste en la aceptación
espontánea de ciertas evidencias relativas a los procedimientos
lógicos de demostración, en las expresiones del lenguaje corriente que
figuran en los axiomas, en locuciones como “hay”, “si... entonces...”,
“no”, “tres”, “cada”, etc., a las que se les da su sentido usual, y de cuyo
significado depende la aceptación de los argumentos y demostraciones.
En pocas palabras: en la axiomática formal la intuición pasó de ser el
sostén de los axiomas a ser el sostén de nuestra argumentación lógica
y de algunas nociones usadas libremente en las teorías. Con ello, la
axiomática quedó expuesta a cometer una falta de la que se le quiso
preservar: hacer referencia, sin advertirlo, a un orden de significados
ajeno al sistema. Esto no parece grave cuando se le ve desde la práctica
matemática ordinaria, en la que ha probado su eficacia. Pero cuando
se le mira desde otros puntos de vista, pronto se siente la necesidad
de hacer para las reglas de la lógica lo que previamente se hizo para
los postulados: enunciarlas explícitamente y en su totalidad.
Los sistemas formales
Toda teoría axiomática inicia con un conjunto de postulados de los
que cada teorema se ha de inferir sin la intervención de otra cosa
que la lógica. Es así como toda teoría es el resultado de la interacción
de dos factores: un conjunto de axiomas y un aparato deductivo.
Hasta comienzos del siglo xx no se había prestado atención más
que al primero de ellos, pues se consideraba que la lógica clásica de
Aristóteles era el único sistema posible de lógica deductiva. Una de
las conquistas de nuestro tiempo fue el descubrimiento de que esto
no es así, de que para cada conjunto de postulados hay un número
ilimitado de sistemas posibles dependiendo de la lógica que se elija
para su desarrollo.