Perspectivas en las teorias de sistemas

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Carlos Torres Alcaraz
la siguiente: exhibiendo un modelo del sistema. Sin embargo, esta
respuesta no es del todo satisfactoria: puede ser que el ‘modelo’ y
sus propiedades se hayan determinado suponiendo la consistencia
de otro sistema axiomático, en cuyo caso sólo se habrá logrado una
prueba de consistencia relativa. 7
Independencia. Una proposición es independiente de un conjunto
de axiomas cuando no es consecuencia lógica de los mismos. Un
conjunto de postulados es independiente si cada axioma es independiente
de los demás.
Completud. Un conjunto de axiomas es completo cuando no se le
puede agregar ningún axioma independiente sin incurrir en inconsistencia.
Cuando un conjunto de axiomas es completo, cualquier
proposición correctamente expresada en los términos del sistema es
demostrable o refutable 8 en él, lo que significa que cualquier proposición
del sistema se puede decidir como verdadera o falsa en relación
con sus axiomas.
Categoricidad. Un conjunto de axiomas es categórico cuando
todos sus modelos son isomorfos entre sí, i.e. cuando los objetos
y las relaciones de dos modelos cualesquiera se pueden poner en
correspondencia biunívoca de modo tal que una relación se cumple
para ciertos objetos en uno de ellos si y sólo si la relación correspondiente
se cumple para los objetos respectivos en el otro modelo. Dos
modelos isomorfos poseen una misma estructura, y se puede decir
que un conjunto categórico de axiomas tiene básicamente un modelo.
En la axiomática formal, el significado de los términos primitivos
ya no desempeña ningún papel en la demostración. Hilbert gustaba
de expresar esta idea diciendo que se podrían remplazar las palabras
7
Por ejemplo, la geometría analítica nos provee un modelo aritmético del espacio
euclidiano, al mostrar que la geometría euclidiana no es más que una expresión
distinta de los hechos del álgebra lineal y de la teoría de las ecuaciones
lineales. Si una contradicción fuese deducible de los postulados de Euclides, una
contradicción sería deducible de los axiomas para los números reales. Resulta de
ello que los postulados de la geometría euclidiana son consistentes en caso de que
aquellos axiomas lo sean, lo que nos da una prueba relativa de su consistencia,
mas no absoluta. Este ejemplo deja ver que el método de los modelos no siempre
da una respuesta concluyente a la pregunta por la consistencia. En este caso, el
modelo para la geometría plana se define al asignar a la palabra ‘punto’ el significado
de “pareja ordenada de números reales” y a la palabra ‘recta’ el significado
de “conjunto de puntos que son solución de una ecuación de primer grado en dos
variables”.
8
Refutable significa que su negación es demostrable.