Perspectivas en las teorias de sistemas

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Carlos Torres Alcaraz
noción de consecuencia lógica entre enunciados para los que la cuantificación
se limita a individuos; la clase de fórmulas derivables es la
clase de fórmulas (universalmente) válidas, es decir, verdaderas en
todo dominio de interpretación.
Este resultado se puede expresar diciendo que la noción de
consecuencia lógica, propia de la lógica clásica, admite una formalización
completa.
3] La aritmética de Peano de primer orden es consistente (Gentzen,
1936). Este resultado resuelve parcialmente el segundo problema de
una lista de 23 que Hilbert planteó en el congreso de París de 1900.
4] Si un sistema formal para la aritmética de los números naturales
es consistente, entonces existen enunciados aritméticos que son
indecidibles respecto a esos axiomas (Gödel, 1931, primer teorema
de incompletud). 14 Este resultado se suele parafrasear diciendo que
ningún sistema axiomático para la aritmética de los números naturales
puede ser consistente y completo a la vez.
5] Ningún sistema formal puede tener como conjunto de teoremas
al conjunto de enunciados verdaderos de la aritmética (versión semántica
del primer teorema de incompletud de Gödel, 1931). Este
teorema determina que la aritmética de los números naturales no
es axiomatizable, es decir, que no existe un conjunto recursivo de
axiomas para el conjunto de enunciados aritméticos verdaderos (y,
al parecer, no hay otra forma de axiomatización).
6] Para cualquier sistema formal consistente que sea capaz de
formalizar cierto fragmento de la aritmética finitista, la fórmula que
establece su consistencia es inderivable en el sistema (Gödel, 1931,
segundo teorema de incompletud). El fragmento en cuestión es
la aritmética recursiva (parte de la matemática constructiva) y la
fórmula en cuestión es de corte aritmético. Más adelante veremos
cómo es posible que una fórmula aritmética pueda expresar la noción
metateórica de consistencia en relación con un sistema formal al que
puede incluso pertenecer.
7] Para cualquier sistema formal consistente que sea capaz de formalizar
cierto fragmento de la aritmética finitista, la propiedad de “ser
14
Por enunciado indecidible se entiende un enunciado tal que ni él ni su negación
son derivables en el sistema, es decir, que el sistema no puede “decidir”. La
existencia de enunciados indecidibles contrasta con la noción semántica de verdad
según la cual, para cada dominio de interpretación, entre un enunciado y su negación
alguno de los dos es verdadero.