física, q uím ic a y matemática s - Andalucía Investiga

Un hueco para Banach a
través de la álgebra
La principal herramienta en la física clásica es la teoría de ecuaciones diferenciales e integrales. Sin
embargo, la disciplina matemática central en el estudio de lo aspectos microscópicos de la física es el
análisis funcional. El principal objetivo del análisis funcional es el estudio de los espacios de funciones y de
los operadores o transformaciones entre tales espacios. Esta disciplina tiene su origen en el estudio de
las ecuaciones integrales llevado a cabo por David Hilbert y se consolida con la aparición de la teoría de
integración introducida por Henri Lebesgue. El asentamiento defi nitivo
llegó fundamentalmente de manos de Stefan Banach, en cuyo honor
reciben el nombre los espacios de Banach, que son los objetos de
estudio básicos en análisis funcional. La Consejería de Innovación,
Ciencia y Empresa ha incentivado un proyecto de excelencia con
174.199 euros para la investigación en nuevas técnicas algebraicas,
armónicas y geométricas.
Centro
Universidad de Granada
Área
Física, Química y Matemáticas
Código
FQM1438
Nombre del proyecto
Técnicas algebraicas, armónicas y
geométricas en el estudio de operadores
en espacios de banach
Contacto
Armando Reyes Villena Muñóz
Teléfono: 958 24 29 01
e-mail: avillena@ugr.es
Dotación
174.199 euros
Este proyecto se encuadra en el análisis
funcional y su objetivo fundamental
es el estudio de los operadores
en espacios de Banach mediante
el uso de diversas técnicas: algebraicas,
armónicas y geométricas.
Precisamente, la dispar naturaleza
de las herramientas utilizadas, así
como la interacción de diferentes
áreas del análisis y álgebra, es una
de las características esenciales del
proyecto. La investigación que propone
este grupo de investigación se
concreta en dos áreas fundamentales:
Álgebras de operadores y grupos
de operadores, y Geometría de
los espacios de Banach.
En la formulación moderna de
la Física Cuántica desempeñan un
papel primordial las álgebras de
operadores y las álgebras grupo. En
este proyecto se aborda la investigación
de dos tipos especialmente
relevantes de transformaciones en
este contexto. Uno de los objetos de
estudio son las derivaciones. Estas
transformaciones vienen defi nidas
por la tradicional regla de Leibnitz
satisfecha por la derivada habitual;
aparecen en la descripción temporal
y espacial de los sistemas dinámicos
en mecánica cuántica y constituyen
además una parte central
en la teoría de operadores y en la
cohomología (espacios vectoriales)
de las álgebras de operadores.
Otras transformaciones que son
consideradas en este proyecto son
aquellas que preservan determi-
nadas propiedades especialmente
significativas: operadores que preservan
el producto cero y operadores
que preservan la ortogonalidad.
Es interesante destacar que ambas
propiedades tienen un significado
físico profundo conectado con los
aspectos probabilísticos de la mecánica
cuántica. Recientemente se ha
desarrollado una intensa investigación
acerca de este tipo de transformaciones
y la cuestión fundamental
consiste en dilucidar su posible vinculación
con los homomorfi smos.
Por otra parte, los grupos de
operadores también desempeñan
un papel fundamental en la descripción
de la evolución de los sistemas
dinámicos. Una cuestión especialmente
interesante en este contexto
es el análisis de los funcionales y
los operadores invariantes por la
acción del grupo considerado. Además
este tema es clásico en Análisis
Armónico y en él han trabajado un
buen número de investigadores de
reconocido principalmente en el
campo de los grupos abelianos.
La intención de este grupo de investigadores
de la UGR es analizar
sistemáticamente el problema para
grupos no abelianos. En particular,
han descubierto sorprendentes
aplicaciones de la denominada propiedad
de Kazhdan en la determinación
de la topología en los espacios
de funciones integrables y su interés
reside ahora en su extensión a
las versiones no conmutativas de