Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

104 CHAPITRE 6. EXERCICE
calcule les moments, mais que cette opération ne revient pas à appliquer le théorème de
superposition. La présence de V dans l’équation conduit à une solution non polynomiale.
2. En posant k 2 ≡ F/EI, donner la solution de l’équation différentielle, somme de la
solution homogène et de la solution particulière, et utiliser les conditions aux limites en
x 1 = 0 pour trouver la flèche, V (x 1 ).
L’équation s’écrit simplement :
V, 11 +k 2 V = P (L − x 1)
EI
+ k 2 δ
La solution homogène V h et la solution particulière V p s’écrivent :
V h = A sin kx 1 + B cos kx 1 V p = P (L − x 1)
k 2 EI
+ δ
On écrit donc respectivement la flèche et sa dérivée sous la forme :
V = A sin kx 1 + B cos kx 1 + P (L − x 1)
k 2 EI
V ,1 = Ak cos kx 1 − Bk sin kx 1 −
P
k 2 EI
+ δ
En x 1 = 0, la flèche et sa dérivée sont nulles, puisqu’on est en présence d’un
encastrement, si bien que :
0 = B + P L
k 2 EI + δ
0 = Ak − P
k 2 EI
La flèche s’exprime donc :
V (x 1 ) = P F k sin kx 1 −
( P L
F + δ )
cos kx 1 + P F (L − x 1) + δ
3. En utilisant la ¡¡condition de cohérence¿¿ V (L) ≡ δ, montrer que
( ) ( )
P L
3 tan kL − kL
δ =
EI (kL) 3
En exprimant la ¡¡condition de cohérence¿¿ V (L) = δ, on peut trouver la valeur de la
flèche à l’extrémité de la poutre :
δ = P L3
EI
tan kL − kL
(kL) 3