Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

5.8. ANALYSE DU FLAMBAGE PAR L’ÉTUDE DE L’ÉQUILIBRE D’UNE CONFIGURATION DÉFO
déformation est de la compression simple, la déformation axiale est uniforme sur l’ensemble
de la poutre, de valeur F/ES. Il en est tout autrement si on considère que la ligne neutre
de la poutre peut ne pas rester droite. Les raisons pour cela peuvent être une petite
perturbation de l’équilibre, ou un défaut initial. Si on considère que la force s’applique
sur une configuration déformée qui n’est plus le segment de droite théorique initial, la
force axiale va développer un moment de flexion, et la poutre va se déformer en flexion
autour d’un axe perpendiculaire à x 1 . On note I le moment quadratique correspondant.
La déformée est donc caractérisée par la flèche V (x 1 ), et il est naturel de négliger le
déplacement axial devant celle-ci, ce qui explique que l’approche considère une poutre
inextensible. La donnée de la flèche permet d’obtenir l’expression du moment en x 1 ,
qui est égal à F V (x 1 ). Comme on se place dans le cas d’une poutre longue, le moment
varie en fonction de la courbure V ,11 uniquement. Son expression dépend des conditions
aux limites : il est maximum pour un encastrement, nul pour une extrémité simplement
supportée. Dans tous les cas, on trouve une équation de la forme :
EIV ,11 + F V = C(x 1 ) (5.61)
En posant k 2 = F/EI, l’équation sans second membre s’écrit :
Elle admet donc des solutions de la forme :
5.8.2 Poutre simplement supportée
V ,11 + k 2 V = 0 (5.62)
V (x 1 ) = A cos(kx 1 ) + B sin(kx 1 ) (5.63)
Si on considère le cas d’une poutre simplement supportée aux deux extrémités, la
flèche doit être nulle aux deux extrémités (x 1 = 0 et x 1 = L), ce qui impose :
A = 0 B sin(kL) = 0 (5.64)
Le cas B = 0 correspond à la situation triviale où la flèche reste nulle. Par contre, si on
a kl = nπ, on trouve effectivement la possibilité d’avoir une déformée non rectiligne. On
trouve alors :
(
V (x 1 ) = B sin nπ x )
1
F = n 2 π 2 EI
(5.65)
L
L 2
La charge critique d’Euler F c correspond au premier mode, obtenu avec n = 1 :
F c = π 2 EI
L 2 (5.66)
C’est à partir de cette charge là, en général bien inférieure à la charge de rupture théorique
calculée à partir d’un modèle en compression, que la poutre risque de sortir de sa position
d’équilibre. En effet, si F est légèrement inférieur à F c , la solution de l’équation (5.64) ne
peut être que B = 0. L’état déquilibre est alors de la compression pure, sans déplacement
transverse. Mais si F = F c alors B est quelconque. Les déplacements transverses peuvent
avoir une amplitude quelconque. Au moindre effort transverse, ils deviennent infinis.
L’équilibre n’est plus stable pour F = F c .