Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

3.3. COMPORTEMENT HYPERÉLASTIQUE 45
Cependant, le tenseur Π ∼
n’a pas de sens physique, sa construction réside dans le fait
que c’est la variable duale du tenseur de Green Lagrange. Seuls les tenseurs σ ∼
et S ∼
peuvent caractériser les efforts appliqués et intervenir dans les conditions aux limites pour
les formulations de l’équilibre et dans le travail des efforts intérieurs. Enfin, le tenseur de
Boussinesq en traction uniaxiale dans la direction e 1 correspond à la contrainte
dite ingénieur c’est à dire : S 1 = F/S 0 .
Le postulat de l’état local permet de définir en chaque point matériel M (x, t) une
température, une densité d’énergie e et une densité d’entropie s. La combinaison des deux
premiers principes de la thermodynamique nous permet d’établir l’inégalité de Clausius-
Duhem.
Description eulérienne
Description lagrangienne
Description mixte
(
Φ = σ ∼
: D ∼
− ρ ˙ϕ + sT
˙
)
− q
} {{ } T .∇ xT ≥ 0 (3.32)
} {{ }
d in
d th
(
Φ 0 = Π ∼
: Ė ∼
− ρ 0 ˙ϕ + sT
˙
)
− Q
} {{ } T .∇ XT ≥ 0 (3.33)
} {{ }
d in
d th
(
Φ 0 = S ∼
: Ḟ ∼
− ρ 0 ˙ϕ + sT
˙
)
− Q
} {{ } T .∇ XT ≥ 0 (3.34)
} {{ }
d in
d th
où q est le vecteur flux de chaleur et ϕ = e − T s est l’énergie libre spécifique. On postule
souvent un découplage de la dissipation thermique d th et de la dissipation intrinsèque d in ,
en exigeant que :
d th ≥ 0 d in ≥ 0 (3.35)
De plus l’énergie de déformation s’écrit respectivement dans la description eulérienne,
lagrangienne et mixte tel que :
σ ∼
: D ∼
= Π ∼
: Ė ∼
= S ∼
: Ḟ ∼
(3.36)
3.3 Comportement Hyperélastique
Un comportement est dit hyperélastique s’il vérifie les critères suivants :
– l’existence d’une configuration de référence libre de contrainte,
– le matériau ne dissipe pas d’énergie,
– le comportement du matériau est décrit par une densité d’énergie libre spécifique ,
fonction des déformations et de la température.