Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

5.1. EVOLUTION ET STABILITÉ 71
5.1.2 Stabilité d’un équilibre
Une position d’équilibre u e est stable si une petite perturbation des données initiales
(u t=0 = u e , ˙u t=0 = 0) n’entraine qu’une faible évolution dynamique autour de l’équilibre.
Supposons que l’on connaisse une mesure de la distance entre u e et le déplacement
pertubé u. Notons d(t) cette distance qui évolue dans le temps.
Définition : Une position d’équilibre u e est stable si et seulement si,
∀ɛ > 0 il existe α tel que d(0) < α ⇒ d(t) < ɛ ∀t > 0. (5.8)
Il est alors possible de choisir une perturbation initiale pour qu’à chaque instant l’effet
de cette perturbation soit borné par une borne donnée, quelle qu’en soit sa valeur.
La notion de stabilité dépend de la définition de d.
5.1.3 Equation de mouvement linéarisée
La perturbation initiale étant supposée petite, nous considérons un développement de
Taylor au premier ordre de l’équation de mouvement autour de la position d’équilibre u e .
On introduit la différence φ = u − u e .
On obtient l’équation linéarisée suivante :
∫
Ω
ρ ¨φ u ′ dΩ + F ,uu (u e )[u ′ , φ] = 0 ∀ u ′ ∈ V (5.9)
C’est une équation différentielle en temps ”à coefficients” constants. On cherche φ à
l’aide d’une méthode de séparation des variables d’espace et de temps :
φ(x, t) = e s t ψ(x) (5.10)
On obtient le problème aux valeurs propres suivant : Trouver les solutions (ψ, s) tel
que,
∫
s 2 ρ ψ u ′ dΩ + F ,uu (u e )[u ′ , ψ] = 0 ∀ u ′ ∈ V (5.11)
Ω
⇓
s 2 = − F ,uu(u e )[ψ, ψ]
∫Ω ρ ψ ψ dΩ (5.12)
Il y a une suite dénombrable de solutions (ψ k
, s k ) k=1...∞ . ψ k
est appelé mode propre du
système. Les modes propres forment une base orthogonale de V.
Ce problème est un problème de vibrations libres qui se distingue du problème usuel
car il s’agit de vibrations libres autour d’un état qui n’est pas nécessairement l’état naturel.