Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

26 CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE
additionnels, qui sont pilotés par des paramètres extérieurs. En toute rigueur les
distorsions et dilatations produites ne conduisent pas à un tenseur de déformation, parce
qu’elles ne vérifient pas forcément les équations de compatibilité. L’usage a néanmoins
consacré l’abus de notation, et on utilise par exemple ε th
∼
pour désigner la dilatation
thermique ; on accepte même parfois de parler de déformation thermique. Parmi les autres
paramètres extérieurs qui fournissent des déformations additionnelles, on peut citer par
exemple :
– l’irradiation d’un matériau, qui provoque dans certaines gammes de température la
germination et la croissance de cavités, ce qui produit un changement de volume ;
– le changement de phase ; les métaux et alliages, mais aussi les roches, peuvent
changer de réseau cristallin en fonction de la température et de la pression. Ces
phénomènes doivent bien entendu être décrits à l’aide de variables d’état, mais,
dans la mesure où une quantité donnée d’atomes n’occupera pas le même volume en
fonction de sa phase cristallographique (cubique, hexagonale,. . .), un changement
de volume spécifique accompagnera de façon systématique le changement de phase.
2.1.2 Dilatation thermique
La dilatation thermique est proportionnelle à la variation de température pour
une petite variation de celle-ci autour d’un point de fonctionnement considéré. Ceci
permet donc d’introduire un tenseur de dilatation thermique. Sur une large gamme
de température, l’expérience montre que les termes de ce tenseur dépendent de la
température. Comme par ailleurs on peut choisir la température à laquelle on prend
la dilatation thermique nulle, il faut introduire deux températures particulières dans la
définition, T 0 température à laquelle ε
∼ th est nul, et T r , température de référence à partir
de laquelle est mesuré α
∼
. La forme complète est alors :
– pour le cas anisotrope
– pour le cas isotrope
soit
ε
∼ th = α
∼
(T )(T − T r ) − α
∼
(T 0 )(T 0 − T r ) (2.1)
ε
∼ th = α(T )(T − T r )I
∼
− α(T 0 )(T 0 − T r )I
∼
(2.2)
ε th
ij = α(T )(T − T r )δ ij − α(T 0 )(T 0 − T r )δ ij (2.3)
Dans une telle définition, α(T ) (dépendant de la température) est le coefficient de
dilatation sécant. C’est lui qui est ordinairement tabulé dans les bases de données.
La déformation totale s’écrit comme une somme de la part élastique et de la part
thermique :
ε
∼
= ε
∼ e + ε
∼
th
Lorsque le champ de température dans une pièce n’est pas uniforme, la dilatation varie
d’un point à l’autre. Si le champ appliqué permet de vérifier les conditions de compatibilité,
et s’il peut se développer une dilatation libre, il n’y a pas de contrainte ; dans le cas
contraire (champ de température trop complexe ou restrictions cinématiques), ceci conduit
au développement de contraintes thermomécaniques.