Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 11
Plan de la ligne neutre
Section
Figure 1.5 – Schématisation de la poutre de Timoshenko
1.2.3 Traitement des équations
Travail virtuel des efforts internes
∫
δW int = −
∫
= −
V
L
(ε ′ 11σ 11 + 2ε ′ 13σ 13 )dV (1.21)
( ∫
∫
∫ )
U ,1
′ σ 11 dS + θ ,1
′ x 3 σ 11 dS + (V,1 ′ + θ ′ ) σ 13 dS dx 1 (1.22)
S
S
On introduit alors naturellement les quantités N, T , M conjuguées de U, V , θ :
∫
∫
∫
N = σ 11 dS T = σ 13 dS M = x 3 σ 11 dS (1.23)
ce qui donne :
S
S
∫
(
δW int = − NU
′
,1 + Mθ ,1 ′ + T (V,1 ′ + θ ′ ) ) dx 1 (1.24)
L
Traitement du travail des efforts intérieurs
d’où :
A partir de :
∫
(
δW int = − NU
′
,1 + Mθ ,1 ′ + T (V,1 ′ + θ ′ ) ) dx 1 (1.25)
L
On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple :
∫
∫
∫
NU ,1dx ′
1 = ((NU ′ ) ,1 − N ,1 U ′ ) dx 1 = [NU ′ ] L 0 − N ,1 U ′ dx 1 (1.26)
L
L
∫
δW int = − (−N ,1 U ′ − M ,1 θ ′ − T ,1 V ′ + T θ ′ )) dx 1 (1.27)
L
+N(0)U ′ (0) − N(L)U ′ (L) + T (0)V ′ (0) − T (L)V ′ (L) (1.28)
+M(0)θ ′ (0) − M(L)θ ′ (L) (1.29)
S
S
L