Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

6.7. ETUDE DE LA FLEXION D’UN BILAME 117
L’estimation des termes M 11 et M 22 s’effectue en intégrant respectivement x 3 σ 11 et x 3 σ 22
sur l’épaisseur de la plaque. Ceci donne par exemple pour M 11 :
M 11 =
E ∫ e/2
(x
1 − ν 2 3 ε 11 + νx 3 ε 22 − (1 + ν)αT x 3 )dx 3
−e/2
Cette fois-ci, le terme provenant de la dilatation thermique est linéaire en x 3 , si bien qu’il
disparaît dans l’intégration, et que la loi de comportement est inchangée par rapport à la
solution isotherme : ( )
( ) ( )
M11 Ee 3 1 ν θ2,1
=
M 22 12(1 − ν 2 ) ν 1 −θ 1,2
2. On se préoccupe dans cette question des équations d’équilibre résultant de
l’assemblage des deux couches. Justifier le fait que le moment de flexion dans le dépôt
est négligeable devant le moment résultant sur le substrat. On raisonne dans un premier
temps en conditions axisymétriques, si bien que les composantes 11 et 22 sont égales. En
écrivant l’équilibre des efforts pour une section droite de la plaque multicouche, déterminer
l’effort normal N s = N s 11 = N s 22 et le moment de flexion M s = M s 11 = M s 22 dans la couche
de substrat en fonction de l’effort normal N d = N d 11 = N d 22 dans la couche de dépôt.
x 3
N d
N s
e s E s ν s α s
x 1
M s
Figure 1 : Equilibre d’une section droite
La résultante des efforts normaux est nulle, puisqu’il n’y a pas d’efforts extérieurs
appliqués sur le système. On en déduit :
N s + N d = E de d
1 − ν d
(ε − α d T ) + E se s
1 − ν s
(ε − α s T ) = 0
On a noté ε les termes U 1,1 et U 2,2 , qui sont supposés égaux dans les deux couches, ce qui
signifie que l’extension moyenne est la même dans les deux couches, et que le problème
est axisymétrique. On fait en effet l’hypothèse qu’il y a continuité du déplacement entre
les couches. Il est donc possible d’éliminer ε et de trouver l’expression de N d :
N d =
E d e d E s e s
(α s − α d )T
1 − ν d 1 − ν s
E d e d
+ E se s
1 − ν d 1 − ν s
Comme les valeurs des constantes du modèle élastique et des coefficients de dilatation
thermique sont du même ordre pour les deux matériaux, mais que la couche de dépôt est
d’épaisseur négligeable, la valeur de l’effort normal dans le substrat est finalement :
N s = −N d ≈ E de d
1 − ν d
(α d − α s )T