Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

5.7. ANALYSE DU FLAMBAGE D’UNE POUTRE PAR LE CRITÈRE DE SECONDE VARIATION D
Donc :
N ,1 = 0, Q ,1 = 0, N(L) = −λ, M(0) = 0, M(L) = 0
N ,1 = 0, Q ,1 = 0, Q = N V ,1 + M ,1 , N(L) = −λ, M(0) = 0, M(L) = 0
N = E S (U ,1 + 1 2 V 2
,1), M = −E I V ,11
Solution triviale pour une courbe d’équilibre passant par l’état naturel (N(λ = 0) =
0, M(λ = 0) = 0, M ,1 (λ = 0) = 0).
Il s’agit d’un état de compression avec de faibles déformations linéaires
Rappel :
F ,u (u, λ)[δu] =
∫ L
0
5.7.4 Etude de bifurcation
U e = − λ
E S x 1, V e = 0 ∀x 1 ∈ [0, L] ∀λ (5.46)
(E S (U ,1 + 1 2 V 2
,1) (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) + E I δV ,11 V ,11 ) dx 1 + λ δU(L) (5.47)
Le calcul de la seconde variation de l’énergie potentielle, avec φ = (U φ , V φ ), donne :
F ,uu (u, λ)[δu, φ] =
∫ L
Au point d’équilibre u e (λ) = (− λ x E S 1, 0) on a :
F ,uu (u e , λ)[δu, φ] =
0
(E S (U φ,1 + V φ,1 V ,1 ) (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) (5.48)
+ E S (U ,1 + 1 2 V 2
,1) δV ,1 V φ,1 (5.49)
+ E I δV ,11 V φ,11 ) dx 1 (5.50)
∫ L
S’il existe, le mode de bifurcation ψ est donné par :
0
(E S U φ,1 δU ,1 (5.51)
− λ δV ,1 V φ,1 (5.52)
+ E I δV ,11 V φ,11 ) dx 1 (5.53)
F ,uu (u e , λ c )[δu, ψ] = 0 ∀ δU δV (5.54)
Pour le problème étudié on trouve la condition suivante, avec ψ = (U ψ , V ψ ) :
∫ L
avec U ψ (0) = 0, V ψ (0) = 0, V ψ (L) = 0.
0
(E S U ψ,1 δU ,1 (5.55)
− λ δV ,1 V ψ,1 (5.56)
+ E I δV ,11 V ψ,11 ) dx 1 = 0 ∀δU δV (5.57)
On trouve : λ c = π2
L 2 E I , U ψ = 0, V ψ = B sin(π x 1
L
)