Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

60 CHAPITRE 4.
ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE
x 2
M
1
A’ A
r
A
θ
x
A : (0,a)
A’ : (0,-a)
Figure 4.1 – Plaque infinie en traction simple selon x 2
La formule du déplacement u 2 sur la frontière de la fissure montre que l’ouverture des
lèvres de la fissure est représentée par une ellipse. Le changement de variable x 1 = a + r
montre qu’il existe au voisinage de la pointe de fissure une singularité en r 1/2 lorsque r
tend vers 0.
σ 22 ∝ σ ∞ (a/2r) 1/2 (4.4)
Dans ce type de configuration un critère en contrainte ne peut pas servir de critère de
rupture puisque la contrainte est infinie en pointe de fissure alors qu’il existe une ténacité
non nulle qui caractérise une résitance à la propagation de fissure.
Pour pouvoir considérer différents types de conditions aux limites à l’infini, il est préférable
d’adopter une méthode asymptotique.
Solution asymptotique de Westergaard
Le problème précédent peut également être abordé en introduisant la ”fonction d’Airy”
Ψ(x 1 , x 2 ) telle que : σ 11 = Ψ, 22 ; σ 22 = Ψ, 11 ; σ 12 = Ψ, 12 . Les équations d’équilibre sont
alors automatiquement vérifiées. En élasticité linéaire, le report de ces égalités dans les
conditions de compatibilité 2 ε 12,12 = ε 11,11 +ε 22,22 conduit à chercher Ψ comme solution de
l’équation biharmonique ∆ ∆ Ψ = 0. Ce problème se résoud par la méthode des fonctions
complexes. On obtient ainsi la solution asymptotique au voisinage de la pointe de fissure
(Fig.4.2). Irwin a montré que le premier terme du développement limité est le même, à un
facteur multiplicatif près, pour tous les problèmes correspondant à un mode d’ouverture
donné. La sollicitation d’une fissure linéaire dans un milieu plan perpendiculairement à
son axe correspond au mode I ; on introduit ainsi le facteur d’intensité de contrainte en
mode I, K I ,tel que :
( √ )
K I = lim σ 22 2 π r (4.5)
r→0