Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

20 CHAPITRE 1.
ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
simplement que φ vaut (R 2 − x 2 2 − x 2 3)/2, et on vérifie que la section reste plane ; sous
l’effet d’un effort tranchant T 2 uniquement, on trouve :
σ 12 = T (
2 3 + 2ν (
x
2
I 3 8(1 + ν) 3 − x 2 2 + R 2) )
x 2 3
−
σ 13 = − T ( )
2 1 + 2ν
2(1 + ν)
I 3 4(1 + ν) x 3x 2
(1.105)
On note que le vecteur contrainte est bien nul sur la surface latérale.
D’une façon générale, le déplacement de la ligne moyenne est obtenu pour x 2 = x 3 = 0.
Les sections droites restent planes sous l’action d’un effort normal ou d’un moment. Dans
le cas d’un effort tranchant, on a un gauchissement des sections droites, ainsi, sous l’action
de T 2 , en notant U le déplacement selon x 1 d’un point courant de la ligne moyenne, on a :
u 1 − U = T (
)
2
ν x3 2
EI 3 6 − (2 + ν)x 2x 2 3
2
+ 1 + ν
E Φ(x 2, x 3 ) (1.106)
Ce gauchissement reste néanmoins relativement peu important, ce qui encouragera en fait
à construire des solutions dans lesquelles on conserve les sections planes.
1.4 Poutre sandwich
On continue ici à utiliser une approche relativement grossière, qui consiste à évaluer le
champ de contrainte à partir du champ de déplacement. On suppose donc que, en présence
de plusieurs couches, on continue à avoir la même cinématique. Contrairement au cas du
matériau homogène, il y a maintenant une distribution spatiale des propriétés élastiques,
qui dépendent de la cote x 3 dans la section. On considère une section droite de forme
rectangulaire. On suppose que la partie centrale de la section droite est en mousse et que
la partie supérieure ainsi que la partie inférieure sont en métal. Ceci interdit de sortir les
modules des intégrales, et conduit donc à des moyennes différentes, prenant en compte à
la fois la géométrie et le comportement.
1.4.1 Evaluation des efforts intérieurs
Effort normal
∫
N =
La contrainte σ 11 est discontinue, et : σ 11 (x 3 ) = E(x 3 )ε 11
S
σ 11 dS (1.107)
σ 11 = E(x 3 ) (U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) (1.108)
∫
∫
N = U ,1 E(x 3 )dS + θ ,1 E(x 3 )x 3 dS (1.109)
S
Si E(x 3 ) est une fonction paire en x 3 , et indépendante de x 2 ; la seconde intégrale est
nulle. On a :
∫
N =< ES > U ,1 avec < ES >= E(x 3 )dS (1.110)
S
S